Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

174 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Sind E 1 und E 2 zwei Ereignisse eines Zufallsversuchs, so sagt man: � E 2 begünstigt E 1 , wenn P(E 1 1 E 2 ) > P(E 1 ) � E 2 benachteiligt E 1 , wenn P(E 1 1 E 2 ) < P(E 1 ) � E 1 ist von E 2 unabhängig , wenn P(E 1 1 E 2 ) = P(E 1 ) Man kann zeigen: Ist E 1 von E 2 unabhängig, dann ist auch E 2 von E 1 unabhängig. Deshalb kann man einfach von den unabhängigen Ereignissen E 1 und E 2 sprechen. Baumdiagramme Ein aus mehreren Teilversuchen bestehender Zufallsversuch kann durch ein Baumdiagramm übersichtlich dargestellt werden. Zur Vereinfachung fasst man manchmal Versuchsausfälle zusammenzufassen (zB beim zweimaligen Würfeln die Ausfälle 1, 2, 3, 4, 5 zu ¬ 6) oder zeichnet ein unvollständiges Baumdiagramm. Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung Regeln für Versuchsausfälle: Multiplikationsregel für Versuchsausfälle Die Wahrscheinlichkeit eines einem Weg (in einem Baumdiagramm) entsprechenden Versuchs- ausfalles ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Weges. Additionsregel für Versuchsausfälle Sind A und B zwei Ausfälle eines Zufallsversuchs, dann gilt: P(A = B) = P(A) + P(B) Regeln für beliebige Ereignisse: Multiplikationsregel für Ereignisse Sind E 1 , E 2 Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 1 E 1 ) Additionsregel für Ereignisse Sind E 1 und E 2 einander ausschließende Ereignisse eines Zufallsversuchs (dh. Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können), dann gilt: P(E 1 = E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse Zwei Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuches sind genau dann unabhängig , wenn gilt: P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ) Diskrete Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Eine diskrete Zufallsvariable X kann endlich viele oder abzählbar viele Werte a 1 , a 2 , a 3 , … annehmen. Bei n-maliger Versuchsdurchführung kann jeder der Variablenwerte öfters auftreten. � Ordnet man jedem Wert a i die absolute Häufigkeit H n (a i ) bzw. relative Häufigkeit h n (a i ) seines Auftretens zu, erhält man die (absolute bzw. relative) Häufigkeitsfunktion a i ¦ H n (a i ) bzw. a i ¦ h n (a i ) . Durch diese wird eine (absolute bzw. relative) Häufigkeitsverteilung von X beschrieben. 6 ¬ 6 6 ¬ 6 6 ¬ 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv