Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

173 9.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses „� Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang, bei dem mehrere Versuchsausfälle (Versuchsausgänge) möglich sind, jedoch ungewiss ist, welcher Ausfall eintritt. „� Jeder Zufallsversuch kann als zufällige Auswahl eines Elements aus einer bestimmten Menge aufgefasst werden, wobei kein Element bevorzugt oder benachteiligt wird. „� Man nimmt zufällige Auswahl an, solange kein Grund vorliegt, etwas anderes anzunehmen. Bei der Durchführung eines Zufallsversuches interessiert man sich dafür, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt oder nicht (zB beim Würfeln: „Es kommt eine gerade Zahl.“). Ein Ereignis entspricht einer bestimmten Menge von Versuchsausfällen (zB beim Würfeln {2, 4, 6}). Die Wahrscheinlichkeit P(E) ist ein Maß für die Erwartung, dass das Ereignis E eintritt. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Methoden angegeben, mit denen man diese Erwartung zahlenmäßig ausdrücken kann, zumindest mit einer gewissen Unsicherheit: Methode 1 (Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil): Bei einem Zufallsversuch habe jeder der endlich vielen Versuchsausfälle die gleiche Chance des Eintretens. Es sei G die Menge aller Versuchsausfälle und A die Menge aller Versuchsausfälle, bei denen das Ereignis E eintritt. P(E) = relativer Anteil von A in G = ​ Anzahl der Elemente von A    _____    Anzahl der Elemente von G ​=  ​  † A †  _  † G † ​ Methode 2 (Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit): Ein Zufallsversuch werde n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt (n groß). P(E) ≈ ​h​ n ​ (E) = relative Häufigkeit des Eintretens von E unter den n Versuchen Methode 3 (Wahrscheinlichkeit als subjektives Vertrauen): P(E) = Grad des subjektiven Vertrauens in das Eintreten von E Bei allen Methoden wird P(E) so festgelegt, dass 0 ª P(E) ª 1 gilt. Grenzfälle sind unmögliche Ereignisse mit P(E) = 0 und sichere Ereignisse mit P(E) = 1 . Unmögli- che Ereignisse können bei keinem Versuchsausfall eintreten, sichere Ereignisse treten bei jedem Versuchsausfall ein. Verknüpfungen von Ereignissen „� Das Gegenereignis ¬E eines Ereignisses E tritt genau bei jenen Versuchsausfällen ein, bei denen E nicht eintritt. Es gilt: P(¬E) = 1 – P(E). „� Das Ereignis „E 1 und E 2 “, symbolisch E 1 ? E 2  , tritt genau dann ein, wenn sowohl das Ereignis E 1 als auch das Ereignis E 2 eintritt. „� Das Ereignis „E 1 oder E 2 “, symbolisch E 1 = E 2  , tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse E 1 bzw. E 2 eintritt. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitswerte hängen stets vom zugrundeliegenden Informationsstand ab. Manchmal will man ausdrücklich angeben, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E unter der Voraussetzung berechnet wird, dass ein Ereignis E 1 eintritt. Man schreibt in diesem Fall P(E 1 E 1 ) anstelle von P(E) und nennt P(E 1 E 1 ) eine bedingte Wahrscheinlichkeit . Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv