Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

172 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Kennzahlen einer geordneten Liste von Zahlen Für eine der Größe nach geordnete Zahlenliste kann man ermitteln: Quartile: Man bildet für die Zahlen vor dem Median q 2 wiederum den Median q 1 und für die Zahlen nach q 2 den Median q 3 . Die erhaltenen Zahlen q 1 , q 2 , q 3 heißen erstes, zweites bzw. drittes Quartil der Liste. Quartilabstand = q 3 – q 1 . Zwischen q 1 und q 3 liegen ungefähr 50% der Daten der Liste. Spannweite = größter Wert (max) – kleinster Wert (min) der Liste. a%-Quantil bzw. a-tes Perzentil = Wert der Liste, vor dem ca. a% aller Daten liegen. Fünfzahlenzusammenfassung: Kastenschaubild (Boxplot): Beachte: � Durch die Quartile wird die geordnete Liste in vier gleich große Abschnitte zerlegt (wobei die Quartile selbst keinem Abschnitt angehören). Vor q 1 liegen ca. 25%, vor q 2 ca. 50%, vor q 3 ca. 75% aller Daten der geordneten Liste. � Das Quartil q 1 ist identisch mit dem 25%-Quantil (25. Perzentil), der Median mit dem 50%-Quantil (50. Perzentil) und das Quartil q 3 mit dem 75%-Quantil (75. Perzentil). Beispiel: Urliste: 2 5 4 1 9 6 7 2 6 3 Spannweite = 9 – 1 = 8 Geordnete Liste: 1 2 2 3 4 5 6 6 7 9 Quartilabstand = 6 – 2 = 4 min q 1 = 2 q 2 = 4,5 q 3 = 6 max Streuungsmaße Definition Es sei x 1 , x 2 , …, x n eine Liste von reellen Zahlen mit dem Mittelwert _ x . � empirische Varianz der Liste: s 2 =   (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 __  n  � empirische Standardabweichung der Liste: s = 9 ____________   (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + (x n – _ x) 2 __ n  Satz Verschiebungssatz für die empirische Varianz s 2 =   x 1 2 + x 2 2 +… x n 2 _  n  – _ x 2 Kommen die möglichen Werte a 1 , a 2 , …, a k einer Variablen mit den absoluten Häufigkeiten H 1 , H 2 , …, H k bzw. relativen Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h k vor, gilt für die Varianz: s 2 =   H 1 · (a 1 – _ x) 2 + H 2 · (a 2 – _ x) 2 + … + H k · (a k – _ x) 2 __   n  = = h 1 · (a 1 – _ x) 2 + h 2 · (a 2 – _ x) 2 + … + h k · (a k – _ x) 2 Der Verschiebungssatz kann so geschrieben werden: s 2 =   H 1 · a 1 2 + H 2 · a 2 2 + … + H k · a k 2 __   n  – _ x 2 = h 1 · a 1 2 + h 2 · a 2 2 + … + h k · a k 2 – _ x 2 Quartilabstand Spannweite q 1 min q 3 max q 2 min q 1 q 2 q 3 max Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv