Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

170 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren Definition Unbestimmtes Integral Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, so setzt man ​ :  ​  ​ f = ​ :  ​  ​ f(x) dx = F(x) + c​  (mit c * R )  und nennt dies das unbestimmte Integral von f , weil keine Grenzen angegeben sind. Wegen F’(x) = f(x) und ​ :  ​  ​ f​(x) dx = F(x) + c kann man sagen: Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen voneinander (bis auf eine additive Konstante). Anwendungen des Integrals Flächeninhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche: A(a, b) = ​ :  a ​  b ​ f​ , A(a, b) = – ​ :  a ​  b ​ f​, falls f(x) º 0 falls f(x) ª 0 Inhalt der Fläche zwischen den Graphen Volumen eines Körpers K mit der von f und g in [a; b] mit f(x) º g(x) Querschnittsflächenfunktion A: A = ​ :  a ​  b ​ (f – g)​ V(K) = ​ :  a ​  b ​ A(z) dz​ Volumen eines Rotationskörpers bei Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse: Rotation um die y-Achse: V(K) = π · ​ :  a ​  b ​ y​ 2 ​dx​ V(K) = π · ​ :  c ​  d ​ x​ 2 ​dy​ Weglänge bei der Geschwindigkeit v im Zeitintervall [a; b] : w(a, b) = ​ :  a ​  b ​ v(t) dt​ Arbeit , die die Kraft F längs des Weges von a nach b verrichtet: W(a, b) = ​ :  a ​  b ​ F(x) dx​ Arbeit , die der Leistung P im Zeitintervall [a; b] entspricht: W(a, b) = ​ :  a ​  b ​ P(t) dt​ f A(a, b) a b 0 f(x) x f a b 0 f(x) x f g a b 0 f(x), g(x) x x y z b z a A(z) f y x x y a b x y x c f d y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv