Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch
170 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren Definition Unbestimmtes Integral Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, so setzt man : f = : f(x) dx = F(x) + c (mit c * R ) und nennt dies das unbestimmte Integral von f , weil keine Grenzen angegeben sind. Wegen F’(x) = f(x) und : f(x) dx = F(x) + c kann man sagen: Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen voneinander (bis auf eine additive Konstante). Anwendungen des Integrals Flächeninhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche: A(a, b) = : a b f , A(a, b) = – : a b f, falls f(x) º 0 falls f(x) ª 0 Inhalt der Fläche zwischen den Graphen Volumen eines Körpers K mit der von f und g in [a; b] mit f(x) º g(x) Querschnittsflächenfunktion A: A = : a b (f – g) V(K) = : a b A(z) dz Volumen eines Rotationskörpers bei Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse: Rotation um die y-Achse: V(K) = π · : a b y 2 dx V(K) = π · : c d x 2 dy Weglänge bei der Geschwindigkeit v im Zeitintervall [a; b] : w(a, b) = : a b v(t) dt Arbeit , die die Kraft F längs des Weges von a nach b verrichtet: W(a, b) = : a b F(x) dx Arbeit , die der Leistung P im Zeitintervall [a; b] entspricht: W(a, b) = : a b P(t) dt f A(a, b) a b 0 f(x) x f a b 0 f(x) x f g a b 0 f(x), g(x) x x y z b z a A(z) f y x x y a b x y x c f d y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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