Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

169 9.3 Analysis Es gilt stets: U f (Z) ª S f (Z) ª O f (Z) Man kann die einzelnen Summen auch mit Hilfe des Summenzeichens anschreiben: U f (Z) = ;  i = 1   n f(m i ) · Δ x i O f (Z) = ;  i = 1   n f(M i ) · Δ x i S f (Z) = ;  i = 1   n f( _ x i ) · Δ x i Das Integral Man kann beweisen: Ist f stetig in [a; b], dann gibt es genau eine reelle Zahl, die „zwischen“ allen Untersummen und allen Obersummen liegt (auch dann, wenn diese zu verschiedenen Zerlegungen von [a; b] gehören). Diese Zahl erhält einen eigenen Namen: Definition Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige reelle Funktion. Jene reelle Zahl, die „zwischen“ allen Unter- und allen Obersummen von f in [a; b] liegt, nennt man das Integral von f in [a; b] und bezeichnet sie mit :  a   b f oder mit :  a   b f(x) dx . Setzt man :  a   a f= 0 und :  a   b f= – :  b   a ffür b < a, dann ist das Integral auch für b ª a definiert. Sind die reellen Funktion f, g in den jeweiligen Intervallen stetig und ist c * R , dann gilt: (1) :  a   b c · f = c · :  a   b f ( 2) :  a   b (f + g) = :  a   b f + :  a   b g (3) :  a   b f+ :  b   c f= :  a   c f Approximation des Integrals durch Summen Bei einer genügend feinen Zerlegung Z von [a; b] ist :  a   b f(x) dx ≈ S f (Z). Man kann daher sagen: Ein Integral ist näherungsweise gleich einer Summe von sehr vielen sehr kleinen Produkten der Form f(x) · Δ x: :  a   b f(x) dx≈ ;    f(x) · Δ x Diese Näherung gilt im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ x ist. Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung Satz Erster Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: :  a   b f(x) dx = F(x)  1 a   b = F(b) – F(a) Satz Zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Es sei f eine Funktion, die im Intervall A = [a; b] (bzw. [a; • [) stetig ist. Dann ist die Integralfunktion I: A ¥ R ‡ x ¦ :  a   x feine Stammfunktion von f . Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv