Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

168 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Stammfunktionen Definition Sind f und F reelle Funktionen mit derselben Definitionsmenge A und gilt F’(x) = f(x) für alle x * A, dann heißt F eine Stammfunktion von f . Ist F 0 eine Stammfunktion von f, dann ist auch F 0 + c (mit c * R ) eine Stammfunktion von f. Ist die Definitionsmenge von f ein Intervall, dann hat man mit den Funktionen F 0 + c (mit c * R ) bereits alle Stammfunktionen von f gefunden. Funktion eine Stammfunktion f(x) = k (mit k * R ) F(x) = k · x f(x) = x q (mit q * Q , q ≠ – 1) F(x) =   x q + 1 _  q + 1 f(x) = sin x F(x) = – cos x f(x) = cos x F(x) = sin x f(x) = e x F(x) = e x f(x) = a x (mit a * R + , a ≠ 1) F(x) =   a x _  lna f(x) =   1 _ x (mit x * R + ) F(x) = ln x Satz Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, dann gilt: (1) F + G ist eine Stammfunktion von f + g. (2) k · F ist eine Stammfunktion von k · f (wobei k * R ). Satz Ist die reelle Funktion f auf einem Intervall A definiert und ist f’(x) = 0 für alle x * A, dann ist f eine konstante Funktion. Unter-, Ober- und Zwischensummen Eine Zerlegung Z des Intervalls [a; b] ist ein (n + 1)-Tupel Z = (x 0 1 x 1 1 x 2 1 … 1 x n ) mit a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b. Definition Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und Z = (x 0 , x 1 , x 2 , … , x n ) eine Zerlegung von [a; b]. Die Längen der Teilintervalle [x 0 ; x 1 ], [x 1 ; x 2 ], …, [x n – 1 ; x n ] seien Δ x 1 , Δ x 2 , …, Δ x n . Ferner seien m 1 , m 2 , …, m n Minimumstellen von f, M 1 , M 2 , …, M n Maximumstellen von f und _ x 1 , _ x 2 , …, _ x n beliebige Stellen in den jeweiligen Teilintervallen. Dann nennt man � U f (Z) = f(m 1 ) · Δ x 1 + f(m 2 ) · Δ x 2 + … + f(m n ) · Δ x n die Untersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z, � O f (Z) = f(M 1 ) · Δ x 1 + f(M 2 ) · Δ x 2 + … + f(M n ) · Δ x n die Obersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z, � S f (Z) = f( _ x 1 ) · Δ x 1 + f( _ x 2 ) · Δ x 2 + … + f( _ x n ) · Δ x n eine Zwischensumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z. f x 2 x 1 x 3 _ _ _ x 2 x 1 m 1 m 2 m 3 M 3 M 1 M 2 a = x 0 x 3 = b 0 f(x) x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv