Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

166 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Differenzierbarkeit Die Ableitung f’(x) = ​ lim    z ¥ x ​​  f(z) – f(x) _  z – x  ​muss nicht immer existieren. Beispiel: Man kann zeigen, dass die Ableitung der nebenstehend dargestellten Funktion f mit f(x) = † x † an der Stelle 0 nicht existiert (siehe Mathematik verstehen 7, Seite 111 –112). Der Graph von f besitzt daher an der Stelle 0 auch keine Tangente. Definition (1) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt an der Stelle p * A differenzierbar , wenn f’(p) = ​lim  z ¥ p  ​ f(z) – f(p) _  z – p  ​existiert. (2) Die Funktion f heißt (schlechthin) differenzierbar , wenn sie an jeder Stelle p * A differenzierbar ist. Folgende Funktionen sind in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich differenzierbar: Potenzfunktionen, Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen. Satz Ist eine reelle Funktion f: A ¥ R an einer Stelle p * A differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig. Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Gegenbeispiel: Die Funktion f mit f(x) = † x † ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Monotonie und Ableitung Satz Monotoniesatz Die reelle Funktion f sei differenzierbar im Intervall I. (1) Ist f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f streng monoton steigend in I . (2) Ist f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f streng monoton fallend in I . Durch die Nullstellen von f’ wird der Definitionsbereich von f in die Monotonieintervalle (Monotoniebereiche) zerlegt (sofern f’ stetig ist). In diesen Intervallen ist f jeweils streng monoton. Um die Art der Monotonie in einem Monotonieintervall I festzustellen, genügt es, das Vorzeichen von f’ an einer beliebigen inneren Stelle p * I zu ermitteln. Lokale Extremstellen und Ableitungen Satz Notwendige Bedingung für lokale Extremstellen Sei f: A ¥ R differenzierbar. Ist p lokale Extremstelle von f, dann ist f’(p) = 0. Satz Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen Sei f: A ¥ R eine zweimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung, A ein Intervall und p eine innere Stelle von A. Dann gilt: (1) Ist f’(p) = 0 und f’’(p) < 0 , dann ist p lokale Maximumstelle von f. (2) Ist f’(p) = 0 und f’’(p) > 0 , dann ist p lokale Minimumstelle von f. 0 1 x –1 1 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv