Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

165 9.3 Analysis Andere Schreibweisen für den Differenzen- und Differentialquotienten Setzt man z – x = h, dh. z = x + h, so ergibt sich: ​  f(z) – f(x) _  z – x  ​= ​  f(x + h) – f(x) __ h  ​  bzw. ​ lim    z ¥ x ​ ​  f(z) – f(x) _  z – x  ​= ​ lim    h ¥ 0 ​ ​  f(x + h) – f(x) __ h  ​ Vorwiegend in den Anwendungen der Differentialrechnung ist auch eine Schreibweise gebräuchlich, die auf Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 –1716) zurückgeht: ​  f(z) – f(x) _  z – x  ​= ​  Δ y _ Δ x ​  bzw.  ​  dy _  dx ​= ​lim     Δ x ¥ 0 ​ ​  Δ y _ Δ x ​ Ableitungsregeln „� Die Funktion f’: x ¦ f’(x) nennt man Ableitungsfunktion von f oder kurz Ableitung von f . „� Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren . „� Den Funktionswert f’(x) bezeichnet man als Ableitung von f an der Stelle x . Ableitungen können als Grenzwerte von Differenzenquotienten berechnet werden, zB: f(x) = x 2  w  f’(x) = ​ lim   z ¥ x ​​  f(z) – f(x) _ z – x  ​= ​ lim    z ¥ x ​​  ​z​ 2 ​– ​x​ 2 ​  _  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x ​​  (z + x)(z – x) _  z – x  ​= ​ lim    z ¥ x ​(z + x) = x + x = 2x Um aber nicht jedes Mal einen Grenzwert ermitteln zu müssen, leitet man Regeln her, die das Auffinden der Ableitungsfunktion f’ einer Funktion f erleichtern. Ableitungen spezieller Funktionen (1) Ableitung einer konstanten Funktion: f(x) = c w  f’(x) = 0 (2) Ableitung einer Potenzfunktion: f(x) = x n w  f’(x) = n · x n – 1 (x * R , n * N *) f(x) = x r w  f’(x) = r · x r – 1 (x * R + , r * R ) (3) Ableitung einer Quadratwurzelfunktion: f(x) = ​ 9 _ x​ w  f’(x) = ​  1 _  2​ 9 _ x​ ​ (4) Ableitung von Winkelfunktionen: f(x) = sin x w  f’(x) = cos x f(x) = cos x w  f’(x) = – sin x f(x) = tan x w  f’(x) = ​  1 _  cos 2  x ​= 1 + tan 2  x (5) Ableitung von Exponentialfunktionen: f(x) = e x w  f’(x) = e x f(x) = a x w  f’(x) = a x  · lna (a * R + , a ≠ 1) (6) Ableitung von Logarithmusfunktionen: f(x) = ln x w  f’(x) = ​  1 _  x ​ f(x) = a logx w  f’(x) = ​  1 _  x · lna ​ (a * R + , a ≠ 1) Ableitungen von Verknüpfungen von Funktionen (1) Ableitung einer Summe (Differenz) von f = g ± h  w  f’ = g’ ± h’ Funktionen: f = f 1 ± f 2 ± … ± f n  w  f’ = f 1 ’ ± f 2 ’ ± … ± f n ’ (2) Ableitung eines Produktes von Funktionen: f = u · v  w  f’ = u’v + uv’ f = c · g  w  f’ = c · g’ (c konstant) (3) Ableitung eines Quotienten von Funktionen: f = ​  u  _ v ​ w  f’ = ​  u’v – uv’ __ ​v​ 2 ​ ​ (4) Ableitung einer Verkettung von Funktionen: f(x) = (u ° v)(x) = u(v(x))  w w  f’(x) = u’(v(x)) · v’(x) (5) Ableitung der Umkehrfunktion g von f: g’(x) = ​  1 _  f’(g(x)) ​ (falls f streng monoton in einem Intervall) Wenn fortlaufendes Differenzieren möglich ist, kann man ausgehend von f die höheren Ableitungen von f bilden: f’ (erste Ableitung von f), f’’ (zweite Ableitung von f), f’’’ (dritte Ableitung von f) usw. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv