Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

163 9.3 Analysis Differenzenquotient Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Dann heißt die reelle Zahl ​  f(b) – f(a) _ b – a  ​ der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von f in [a; b] . Wichtiger Spezialfall des Differenzenquotienten: Ist s: t ¦ s(t) eine Zeit-Ort-Funktion, dann gilt: mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1  ; t 2  ] = ​ _ v​ (​t​ 1 ​ , ​t​ 2 ​) = ​  s(​t​ 2 ​) – s(​t​ 1 ​) _  ​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​  ​ Deutungen des Differenzenquotienten Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) kann gedeutet werden als: „� Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b] „� mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] Vorzeichen des Differenzenquotienten: ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​> 0  É  f(a) < f(b) (f steigt insgesamt bzw. im Mittel in [a; b], siehe Abb. 9.4a) ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​< 0  É  f(a) > f(b) (f fällt insgesamt bzw. im Mittel in [a; b], siehe Abb. 9.4b) ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​= 0  É  f(a) = f(b) (siehe Abb. 9.4 c) Abb. 9.4a Abb. 9.4b Abb. 9.4 c Differenzenquotient als Steigung Lineare Funktion Differenzenquotient von f in [a; b] = = Steigung k der Funktion f in [a; b] = = Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] Beliebige reelle Funktion Differenzenquotient von f in [a; b] = = Steigung k der Sekantenfunktion s in [a; b] = = mittlere (!) Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] = = mittlere (!) Steigung von f in [a; b] a b f b – a f(b) – f(a) f(a) f(b) a b b – a † f(b) – f(a) † f(b) f(a) f a b b – a f(b) f(a) f a b f b – a 1 f(b) f(a) f(b) – f(a) k 1 k b – a f(a) = s(a) f(b) = s(b) f(b) – f(a) = = s(b) – s(a) a b s f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv