Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

162 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Winkelfunktionen Definition Das Bogenmaß eines Winkels ist der Quotient a =   b  _ r , wobei b die Länge des zum Winkel gehörigen Bogens mit dem Radius r ist. (Man kann zeigen, dass das Verhältnis   b  _ r vom gewählten Radius r unabhängig ist.) Zusammenhang zwischen Maßzahl g des Gradmaßes und Bogenmaß a:   a  _ π =   g _  180 Polarwinkelmaße liegen stets in [0; 2 π [ , Drehwinkelmaße können jedoch auch außerhalb dieses Intervalls liegen. Deshalb erweitert man die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens: Definition Ist a * R ein Drehwinkelmaß und _  À  a * [0; 2 π [ das dazugehörige Polarwinkelmaß, so setzt man: (1) sin a = sin _ a (2) cos a = cos _ a (3) tan a =   sin a _ cos a 2  für a ≠ ±   π  _ 2  , ±   3 π  _  2  , ±   5 π  _ 2  , …  3 Winkelfunktionen (Kreisfunktionen, trigonometrische Funktionen): Sinusfunktion sin: R ¥ R ‡ x ¦ sin x Cosinusfunktion cos: R ¥ R ‡ x ¦ cos x Tangensfunktion tan: A ¥ R ‡ x ¦ tan x, wobei A = R \ {  ±   π  _ 2 , ±   3 π  _ 2  , ±   5 π  _ 2  , …  } Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt periodisch , wenn es eine positive Zahl p gibt, sodass für alle x * A auch x + p * A und f(x + p) = f(x) ist. Die Zahl p heißt eine Periode der Funktion f. Die Sinus- und Cosinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode 2 π . Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode π . � Für alle x * R : sin x = cos 2  x –   π  _ 2   3 � Für alle x * R : cos x = sin 2  x +   π  _ 2   3 Funktionen der Form x ¦ a · sin(b · x) Wir betrachten die Funktionen f und g mit: f(x) = sin x und g(x) = a · sin(b · x) (a, b * R + ) Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch zwei Veränderungen hervor: � Streckung bzw. Stauchung mit dem Faktor b in Richtung der 1. Achse (von der 2. Achse aus; Streckung für 0 < b < 1, Stauchung für b > 1) � Streckung bzw. Stauchung mit dem Faktor a in Richtung der 2. Achse (von der 1. Achse aus; Streckung für a > 0, Stauchung für 0 < a < 1) b r 1 – 0 0 1 sin x x π 2 π π –4 π –4 π –2 π –2 3 π –2 9 π –4 1 – 0 0 1 cos x x π 2 π π –4 π –4 π –2 π –2 3 π –2 9 π –4 1 – 0 0 1 tan x x π 2 π π –4 π –4 π –2 π –2 3 π –2 9 π –4 0 1 –1 – –2 –3 2 π –2 π –2 3 π –2 π 2 π f(x), g(x) x g f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv