Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

161 9.2 Funktionale Abhängigkeiten Exponentialfunktionen Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f(x) = c · a x (c * R *, a * R + ) heißt Exponentialfunktion . „� Die Basis a bestimmt die Stärke des Steigens bzw. Fallens . a > 1 … f streng monoton steigend 0 < a < 1 … streng monoton fallend a = 1 … f konstant „� c = Funktionswert von f an der Stelle 0 Satz Ist f eine Exponentialfunktion mit f(x) = c · a x  (c * R *, a * R + ). Dann gilt für alle h * R + : (1) f(x + 1) = f(x) · a Wird das Argument um 1 vergrößert, dann ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor a. (2) f(x + h) = f(x) · a h  bzw. Wird das Argument um h vergrößert, dann ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor a h . (3) ​  f(x + h) __ f(x)  ​= ​a​ h ​ Der Änderungsfaktor bei gleicher Änderung h der Argumente ist konstant. Exponentielles Wachsen bzw. Abnehmen bedeutet: Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets eine Erhöhung bzw. Verminde- rung der Funktionswerte mit dem gleichen Faktor [a h  ] bzw. um den gleichen Prozentsatz [p%] vom jeweiligen Ausgangswert. Exponentieller Wachstumsprozess N(t) = N 0  · ​a​ t ​mit a > 1 N(t) = N 0  · ​e​ λ t ​mit λ > 0 Exponentieller Abnahmeprozess N(t) = N 0  · ​a​ t ​mit 0 < a < 1 N(t) = N 0  · ​e​ – λ t ​mit λ > 0 Dabei ist t * ​R ​ 0 ​  + ​die Zeit und N 0 = N(0) * R + der Anfangswert des Prozesses. Beim radioaktiven Zerfall ist N(t) die Anzahl (bzw. Masse) der zum Zeitpunkt t noch unzerfallenen Atome und N 0 die Anzahl (bzw. Masse) der zu Beginn vorhandenen unzerfallenen Atome. Die Konstante λ heißt Wachstums- bzw. Abnahmekonstante (beim radioaktiven Zerfall Zerfallskonstante ). Die Verdopplungszeit (Halbwertszeit) eines exponentiellen Wachstumsprozesses (Abnahme­ prozesses) ist die Zeit, in der N(t) jeweils verdoppelt (halbiert) wird. Man kann zeigen, dass diese Zeit unabhängig vom Ausgangswert N 0 ist. ( ) x ( ) x ( ) x 1 x 4 x 3 x 2 x – 1 1 0 5 x f(x) 1 –2 1 –3 1 –4 f x x + 1 f(x) f(x) . a 0 2. A. 1. A. f f(x) f(x) . a x x + 1 0 2. A. 1. A. f x x +h f(x) 0 2. A. 1. A. f(x) . a h f x x +h f(x) f(x) . a h 0 2. A. 1. A. f h p% p% p% h h 0 f(x) x 0 f(x) x f h p% p% p% h h Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv