Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

158 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Grenzwerte von Funktionen Gegeben sei eine reelle Funktion f: A ¥ R † x ¦ f(x) und eine Stelle p * A. Wenn sich bei unbegrenzter Annäherung von x an die Stelle p die Funktionswerte f(x) unbegrenzt der Zahl q nähern, so schreibt man: ​lim    x ¥ p ​f(x) = q Die Zahl q heißt Grenzwert von f für x gegen p . Stetigkeit von Funktionen Definition (1) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt an der Stelle p * A stetig , wenn ​ lim    z ¥ p ​f(z) = f(p) . (2) Die Funktion f heißt (schlechthin) stetig , wenn sie an jeder Stelle p * A stetig ist. Folgende Funktionen sind im gesamten Definitionsbereich stetig: Potenzfunktionen, Polynom- funktionen, rationale Funktionen, Winkelfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Ist eine Funktion f an einer Stelle p nicht stetig (unstetig), so kann dies zweierlei bedeuten: „� ​lim    z ¥ p ​f(z) existiert, ist aber von f(p) verschieden (Abb. 9.1). „� ​lim    z ¥ p ​f(z) existiert nicht (Abb. 9.2). Abb. 9.1 Abb. 9.2     Abb. 9.3 Unstetigkeitsstellen sind oft Sprungstellen (wie in Abb. 9.2). Es gibt aber auch andere Unstetigkeitsstellen, zB Oszillationsstellen (wie in Abb. 9.3) Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs „� Eine Funktion f: A ¥ R mit A a R n heißt reelle Funktion in n Variablen . Solche Funktionen kann man in Formeln sehen. ZB kann man in der Formel A = a · b für den Flächeninhalt eines Rechtecks die Funktion A: ( R + ) 2  ¥ R ‡  (a, b) ¦ a · b sehen. „� Noch allgemeiner kann man Funktionen f: A ¥ B betrachten, bei denen A und B beliebige Mengen sind. Lineare Funktionen Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f(x) = k · x + d (mit k, d * R ) heißt lineare Funktion. Spezialfälle: �  k = 0 … konstante Funktion �  d = 0 … direkte Proportionalitätsfunktion 1 f(x) 1 2 –1 –1 0 x f 1 f(x) 1 2 –1 –1 0 x f f 1 x f(x) 1 –1 –1 0 f 0 d f 1. A. 2. A. 0 f 1. A. 2. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv