Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

157 9.2 Funktionale Abhängigkeiten Änderungsmaße von reellen Funktionen Definition Sei f eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion. Die reelle Zahl � f(b) – f(a) heißt absolute Änderung (oder kurz Änderung) von f in [a; b] , �   f(b) – f(a) __ f(a)  heißt relative Änderung von f in [a; b] , �   f(b) – f(a) __ b – a  heißt mittlere Änderungsrate (oder Differenzenquotient ) von f in [a; b] , �   f(b) _ f(a) heißt Änderungsfaktor von f in [a; b] . Monotonie von reellen Funktionen Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Die Funktion f heißt � monoton steigend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) ª f(x 2 ) � monoton fallend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) º f(x 2 ) � streng monoton steigend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) < f(x 2 ) � streng monoton fallend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) > f(x 2 ) Die Funktion f heißt (streng) monoton in M , wenn sie (streng) monoton steigend in M oder (streng) monoton fallend in M ist. Extremstellen von reellen Funktionen Man unterscheidet globale und lokale Extremstellen einer reellen Funktion. � Globale Extremstellen beziehen sich auf die gesamte Definitionsmenge der Funktion. � Lokale Extremstellen beziehen sich nur auf bestimmte Umgebungen. Unter einer Umgebung U(p) der Stelle p verstehen wir ein beliebiges Intervall, das p als innere Stelle enthält. Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt � Maximumstelle von f in M , wenn f(x) ª f(p) für alle x * M, � Minimumstelle von f in M , wenn f(x) º f(p) für alle x * M. Eine Stelle p * M heißt Extremstelle von f in M , wenn sie eine Maximumstelle oder Minimum- stelle von f in M ist. Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt � lokale Maximumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, � lokale Minimumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist. Eine Stelle p heißt lokale Extremstelle von f , wenn sie eine lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. Satz Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und seien a, p, b * A mit a < p < b. (1) Ist f in [a; p] monoton steigend und in [p; b] monoton fallend, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. (2) Ist f in [a; p] monoton fallend und in [p; b] monoton steigend, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. (3) Ist f in [a; p] und [p; b] monoton steigend, dann ist p keine lokale Extremstelle von f. (4) Ist f in [a; p] und [p; b] monoton fallend, dann ist p keine lokale Extremstelle von f. a b x f b – a f(b) – f(a) f(a) f(b) f(x) Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv