Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

155 9.1 Algebra und Geometrie Ermitteln der gegenseitigen Lage der Geraden g: X = P + s · _  À  gund h: X = Q + t · _  À  h: � Ist _  À  g u _  À  h , dann ist auch g u h. Zur Überprüfung, ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind, betrachtet man einen Punkt P = (p 1 1 p 2 ) * g und einen Punkt Q = (q 1 1 q 2 ) * h. – Ist _  À  PQ û _  À  g, sind g und h verschieden. – Ist _  À  PQ u _  À  g, ist g = h. � Ist _  À  g û _  À  h , dann schneiden die beiden Geraden einander. Berechnen des Schnittpunktes: P + s · _  À  g= Q + t · _  À  h w {    p 1 + s · g 1 = q 1 + t · h 1 p 2 + s · g 2 = q 2 + t · h 2 Aus diesem Gleichungssystem kann man s und t ermitteln. Der Schnittpunkt S lässt sich durch S = P + s · _  À  goder S = Q + t · _  À  hberechnen. Beachte, dass die Parameter der beiden Geraden verschieden bezeichnet werden müssen! Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in R 3 Zwei Geraden in R 3 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: g und h schneiden g und h sind g und h sind parallel g und h sind parallel einander zueinander windschief und verschieden und zusammenfallend g ° h = {S} g ° h = { } g ° h = { } g ° h = g = h Ermitteln der gegenseitigen Lage der Geraden g: X = P + s · _  À  gund h: X = Q + t · _  À  h: � Ist _  À  g u _  À  h, dann ist auch g u h. Ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind, kann man wie in R 2 entscheiden. � Ist _  À  g û _  À  h, dann schneiden g und h einander oder sind zueinander windschief. Welcher Fall eintritt, stellt sich bei dem Versuch, den Schnittpunkt zu berechnen, heraus. Berechnen des Schnittpunktes: P + s · _  À  g= Q + t · _  À  h w {    p 1 + s · g 1 = q 1 + t · h 1 p 2 + s · g 2 = q 2 + t · h 2   p 3 + s · g 3 = q 3 + t · h 3 Aus zwei dieser Gleichungen kann man s und t ermitteln. Erfüllen die erhaltenen Parameterwerte auch die dritte Gleichung, existiert der Schnittpunkt S und dieser lässt sich durch S = P + s · _  À  g oder S = Q + t · _  À  hberechnen. Andernfalls existiert kein Schnittpunkt. Abstand eines Punktes von einer Geraden in R 2 Satz Hesse’sche Abstandsformel in R 2 Sei P ein Punkt in R 2 , g eine Gerade in R 2 mit einem Normalvektor _  À  n und A ein beliebiger Punkt von g. Dann gilt für den Abstand d des Punktes P von der Geraden g: d = † _  À  n 0 · _  À  AP † g h S h g g h h g g h P Q h g g = h P Q h g g A P d n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv