Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

154 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Richtungsvektoren und Normalvektoren einer Geraden � Ein Richtungsvektor von g ist ein Vektor _  À  g= _  À  PQmit P, Q * g und P ≠ Q. Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt. � Ein Normalvektor von g ist ein Vektor _  À  n, der zu jedem Richtungsvektor von g normal ist. Eine Gerade in R 2 ist durch einen Punkt und einen Normalvektor festgelegt. Parameterdarstellung und Normalvektordarstellung einer Geraden Parameterdarstellung in R 2 (bzw. R 3 ) Normalvektordarstellung (Gleichung) in R 2 X = P + t · _  À  g _  À  n · X = _  À  n · P bzw. n 1 x + n 2 y = c X … laufender Punkt (mit c = n 1 p 1 + n 2 p 2 ) P … fester Punkt X = (x 1 y) … laufender Punkt _  À  g … Richtungsvektor von g P = (p 1 1 p 2 ) … fester Punkt t … Parameter _  À  n = (n 1 1 n 2 ) … Normalvektor von g Beachte: � Eine Parameterdarstellung X = P + t · _  À  g ordnet jedem Parameter t * R einen Punkt auf der Geraden g zu und umgekehrt. � Eine Punktmenge {X * ℝ 2 (bzw. ℝ 3 ) ‡ X = P + t · _  À  g ? t * ℝ } heißt Gerade in R 2 (bzw. R 3 ). � Eine Gerade kann verschiedene Parameterdarstellungen haben, weil P und _  À  gverschieden gewählt werden können. Der Parameterwert eines Punktes auf der Geraden hängt dabei von der gewählten Parameterdarstellung ab. � Eine Parameterdarstellung wird unter Umständen einfacher, wenn man den Richtungsvektor durch ein geeignetes Vielfaches ersetzt. � Eine Gerade in R 3 kann nicht (!) durch eine Normalvektordarstellung (Gleichung) beschrieben werden. Jede Gleichung n 1 x + n 2 y + n 3 z = c mit (n 1 1 n 2 1 n 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) stellt nämlich eine Ebene im Raum dar. Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in R 2 Zwei Geraden in R 2 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: g und h schneiden g und h sind parallel g und h sind parallel einander und verschieden und zusammenfallend g ° h = {S} g ° h = { } g ° h = g = h g P Q g g P n g g P X g g P X n 2. A. 1. A. a b h g g h S 2. A. 1. A. g Q P h a b 2. A. 1. A. g =h P Q b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verl gs öbv