Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

153 9.1 Algebra und Geometrie Satz Für alle _  À  a * R n und alle r * R gilt: (1) † r · _  À  a † = † r † · † _  À  a † (2) † _  À  a  † = 9 __ _  À  a 2  = 9 ___ _  À  a· _  À  a (3) † _  À  a  † 2 = _  À  a 2 = _  À  a· _  À  a Definition Ist _  À  a≠ _  À  o, so heißt der Vektor _  À  a 0 =   1 _  † _  À  a † · _  À  a der zu _  À  agehörige Einheitsvektor . Der Vektor _  À  a 0 ist zu _  À  a parallel , gleich gerichtet und hat die Länge 1 . Abtragen von Strecken: Wird von P aus eine Strecke der Länge d in Richtung des Vektors _  À  aabgetragen, so ergibt sich für den Endpunkt: Q = P + d · _  À  a 0 Winkelmaß zweier Vektoren Zwei von _  À  overschiedene Vektoren _  À  a, _  À  baus R 2 bzw. R 3 seien durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt S aus dargestellt. Das Maß φ des Winkels, den diese Pfeile miteinander einschließen, nennt man das Winkelmaß der Vektoren _  À  aund _  À  b . Falls die beiden Pfeile entgegengesetzt gerichtet sind, ist φ = 180°. Andernfalls nimmt man von den beiden möglichen Winkelmaßen φ und 360° – φ stets das kleinere. Es gilt stets: 0° ª φ ª 180° Satz Für das Winkelmaß φ der vom Nullvektor verschiedenen Vektoren _  À  a, _  À  baus R 2 ( R 3 ) gilt: cos φ =   _  À  a· _  À  b  __  † _  À  a † · † _  À  b † _  À  a· _  À  b> 0 É spitzer Winkel _  À  a· _  À  b= 0 É rechter Winkel _  À  a· _  À  b< 0 É stumpfer Winkel Besonders wichtig ist der Fall des rechten Winkels: Satz Orthogonalitätskriterium Für alle _  À  a, _  À  b≠ _  À  ogilt: _  À  a © _  À  b É _  À  a· _  À  b= 0 Flächeninhalt eines Dreiecks Flächeninhalt des von den Vektoren _  À  aund _  À  baufgespannten Dreiecks: A =   1 _ 2 · 9 ________ _  À  a 2 · _  À  b 2 – ( _  À  a· _  À  b) 2 ( _  À  a, _  À  b * R 2 oder R 3 ) a 0 a 1 P d Q a a b S a φ b S' 360° – φ 180° φ a b a b φ a b a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des erlags öbv