Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

150 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Quadranten Allgemein setzt man für r > 0 und 0° ª φ < 360°: „� sin φ = ​  y _ r ​  ,  cos φ = ​  x _ r ​ „� tan φ = ​  y _ x ​  (sofern φ ≠ 90° und φ ≠ 270°) Sinus- und Cosinuswerte besonderer Winkel kann man sich mit der nebenstehenden „Einhalb-mal-Wurzel-Regel“ merken. Sinus und Cosinus am Einheitskreis Für r = 1 gilt: cos φ = ​  x  _  r ​= ​  x  _ 1 ​= x und sin φ = ​  y _  r ​= ​  y _ 1 ​= y Darstellung von Sinus und Cosinus als Stellen auf den Koordinatenachsen: (1) (2) (3) (4) Darstellung von Sinus und Cosinus als vorzeichenbehaftete Strecken: (1) (2) (3) (4) „� Strecken von O aus nach rechts oder nach oben erhalten ein positives Vorzeichen. „� Strecken von O aus nach links oder nach unten erhalten ein negatives Vorzeichen. Wichtige Beziehungen, die man am Einheitskreis ablesen kann: Satz Für alle Winkelmaße φ mit 0° ª φ < 360° gilt: (1) –1 ª sin φ ª 1 (3) sin 2 φ + cos 2 φ = 1 (4) sin(180° – φ ) = sin φ (2) –1 ª cos φ ª 1 (5) cos(180° – φ ) = – cos φ Gleichungen sin φ = c und cos φ = c mit 0° ª φ < 360° besitzen für –1 < c < 1 stets genau zwei Lösungen φ 1 und φ 2  . α sin α 0° ​  1 _ 2 ​ ​ 9 _ 0​ 90° 30° ​  1 _  2 ​ ​ 9 _ 1​ 60° 45° ​  1 _ 2 ​ ​ 9 _ 2​ 45° 60° ​  1 _ 2 ​ ​ 9 _ 3​ 30° 90° ​  1 _ 2 ​ ​ 9 _ 4​ 0° cos α α 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O φ 1 φ 2 0 c 1 1 0 c 1 1 φ 1 φ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv