Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

15 1.2 Unter- und Obersummen; Integral Integral als Verallgemeinerung eines Produkts Ein Integral wird manchmal als eine Verallgemeinerung eines Produkts bezeichnet. Um dies zu verstehen, betrachten wir die Inhalte der beiden folgenden grün unterlegten Flächen: A = a · b A = :  0   a b(x) dx In beiden Fällen ist die Länge a konstant. In der linken Abbildung ist auch die Breite b konstant. In der rechten Abbildung hängt die Breite b(x) jedoch von x ab und das Produkt a · b wird durch :  0   a b(x) dxersetzt. In diesem Sinn kann das Integral als eine Verallgemeinerung eines gewöhnlichen Produkts aufgefasst werden. Aufgaben Grundkompetenzen 1.20 Es sei Z eine Zerlegung von [a; b]. Kreuze an! richtig falsch Für alle Funktionen f: [a; b] ¥ R gilt U(Z) < O(Z).   Für alle Funktionen f: [a; b] ¥ R gilt U(Z) < :  a   b f.   Es gibt eine Funktion f: [a; b] ¥ R , für die U(Z) º :  a   b fist.   Für alle Funktionen f: [a; b] ¥ R gilt U(Z) ª :  a   b f ª O(Z)   1.21 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 1 + x 2 . 1) Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0; 3] festgelegten Fläche durch Ober- und Unter- summen ab, wobei das Intervall in 1, 3 bzw. 6 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! 2) Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [0; 3] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? 1.22 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =   x _  x + 1  . 1) Stelle den Inhalt der von f im Intervall [0; 4] festgelegten Fläche durch ein Integral dar! 2) Berechne dieses Integral näherungsweise! Teile dazu das Intervall [0; 4] in vier gleich lange Teilintervalle und nimm den Mittelwert von Unter- und Obersumme als Näherungswert! 1.23 Sei f eine stetige reelle Funktion, die im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt. Beweise: Für jede Zerlegung Z von [a; b] gilt: U f (Z) ª O f (Z). Hinweis: Benutze die Definitionen von U f (Z) und O f (Z) und die Ungleichungen f(m i ) ª f(M i )! a 0 b a 0 b(x) x Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv