Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

148 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Gleichungen höheren Grades Seien a n , a n – 1 , …, a 0 reelle Zahlen. � Polynom vom Grad n: a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit a n ≠ 0) � Polynomfunktion f vom Grad n: f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit a n ≠ 0) � (Algebraische) Gleichung vom Grad n: a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (mit a n ≠ 0) Die Bestimmung der Lösungen einer Gleichung vom Grad n ist gleichwertig mit der Bestimmung der Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion. Satz Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und α eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, dann gilt f(x) = (x – α ) · g(x) für alle x * R , wobei g(x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Durch Abspaltung des Linearfaktors (x – α ) wird der Grad der noch zu lösenden Gleichung um 1 vermindert. Durch fortlaufendes Abspalten von Linearfaktoren erkennt man: Satz (1) Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n Lösungen . (2) Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen . Eine Gleichung vom Grad n kann aber weniger als n Lösungen haben. ZB hat die Gleichung x 2 – 2x + 1 = 0 nur die Lösung 1, was man sofort erkennt, wenn man die Gleichung in der Form (x – 1) 2 = 0 schreibt. Carl Friedrich GAUSS (1777–1855) hat darüber hinaus bewiesen: Satz Fundamentalsatz der Algebra Jede Gleichung vom Grad n mit komplexen Koeffizienten (insbesondere also auch mit reellen Koeffizienten) hat mindestens eine komplexe Lösung. Nach diesem Satz ist jede algebraische Gleichung mit komplexen (insbesondere also auch mit reellen) Koeffizienten in C lösbar. Es besteht somit – zumindest vom Standpunkt des Gleichungs lösens aus – keine Notwendigkeit, die Menge C der komplexen Zahlen zu erweitern. Lineare Gleichungssysteme in zwei bzw. drei Variablen (Unbekannten) Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen in den Unbekannten x und y: Gleichungssystem mit drei linearen Gleichungen in den Unbekannten x, y, z: {    a 1 x + a 2 y = a 0 , b 1 x + b 2 y = b 0 ,   (a 1 1 a 2 ) ≠ (0 1 0) (b 1 1 b 2 ) ≠ (0 1 0) {  a 1 x + a 2 y + a 3 z = a 0 , (a 1 1 a 2 1 a 3 ) ≠ (0 1 0 1 0)  b 1 x + b 2 y + b 3 z = b 0 , (b 1 1 b 2 1 b 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) c 1 x + c 2 y + c 3 z = c 0 , (c 1 1 c 2 1 c 3 ) ≠ (0 1 0 1 0)  Ein Zahlenpaar (x 1 y) heißt Lösung des Gleichungssystems , wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen erfüllen. Ein Zahlentripel (x 1 y 1 z) heißt Lösung des Gleichungssystems , wenn die reellen Zahlen x, y, z alle drei Gleichungen erfüllen. Derartige Gleichungssysteme können ua. mit der Substitutionsmethode oder Eliminations methode gelöst werden (siehe Mathematik verstehen 5, Seite 198 und Mathematik verstehen 6, Seite 193, 194). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv