Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

147 9.1 Algebra und Geometrie Darstellung von a + bi ≠ 0 in der Gauß’schen Zahlenebene : „� r = † a + bi † . . . . . . . . . . . . . Betrag von a + b „� φ = arg(a + bi) . . . . . . . . . . . Argument von a + bi „� a + bi = r · (cos φ + i · sin φ ) . . . . . Polardarstellung von a + bi „� r = ​ 9 ____ ​a​ 2 ​+ ​b​ 2 ​ ​, tan φ = ​  b _ a ​  (falls a ≠ 0) „� a = r · cos φ , b = r · sin φ Satz Potenzen einer komplexen Zahl (Formel von de Moivre) A = r · (cos φ + i · sin φ )  w  A n = r n  · (cos(n φ ) + i · sin(n φ ))  (mit n * N *) Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung hat die Form a · x + b = 0  (mit a, b * R und a ≠ 0). Satz Eine lineare Gleichung a · x + b = 0 mit a, b * R und a ≠ 0 hat genau eine Lösung : x = – ​  b _ a ​ . Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung hat die Form: ax 2 + bx + c = 0  (mit a, b, c * R und a ≠ 0) Dividiert man eine solche Gleichung durch a, erhält man ihre normierte Form : x 2 + px + q = 0  (mit p, q * R ) Die Zahl D = b 2 – 4ac bzw. D = ​ 2  ​  p _ 2 ​  3 ​ 2 ​– q bezeichnet man als Diskriminante der quadratischen Gleichung. Satz x 2 + px + q = 0 mit D = ​ 2  ​  p _ 2 ​  3 ​ 2 ​– q hat ax 2 + bx + c = 0 mit D = b 2 – 4ac hat � zwei reelle Lösungen , wenn D > 0 �  zwei reelle Lösungen , wenn D > 0 „� genau eine reelle Lösung , wenn D = 0 �  genau eine reelle Lösung , wenn D = 0 „� keine reelle Lösung , wenn D < 0 �  keine reelle Lösung , wenn D < 0 (zwei konjugiert komplexe Lösungen)   (zwei konjugiert komplexe Lösungen) „Kleine Lösungsformel“: „Große Lösungsformel“: x 2 + px + q É  x = – ​  p _ 2 ​± ​ 9 ____ ​ 2  ​  p _ 2 ​  3 ​ 2 ​– q​ ax 2 + bx + c = 0 É  x = ​  –b ± ​ 9 _____ ​b​ 2 ​– 4ac​ ___ 2a  ​ Satz Satz von Vieta: Besitzt eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 die Lösungen x 1 und x 2 (die auch zusammen- fallen können), so gilt: (1) x 2 + px + q = (x – x 1 ) · (x – x 2 ) (2) p = – (x 1 + x 2 ) und q = x 1  · x 2 Zu (1) sagt man: Der Term x 2 + px + q wird in die Linearfaktoren (x – x 1 ) und (x – x 2 ) zerlegt. 0 a r φ b a + bi reelle Achse imaginäre Achse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv