Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

146 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Definition Potenzen mit natürlichen Exponenten: a n = a · a ·…· a (a * R , n * N *) 1444444444434444444445 n Faktoren Potenzen mit ganzen Exponenten: a 0 = 1  und  a –n = ​  1 _  ​a​ n ​ ​ (a * R *, n * N *) Potenzen mit rationalen Exponenten: ​ a​ ​  m _ n  ​ ​= ​ n 9 __ ​a​ m ​​ (a * R + , m * Z , n * N *) Rechenregeln für Potenzen (1) a x  · a y = a x + y (2)  ​  ​ a​ x ​ _ ​a​ y ​ ​= a x – y (3) (a x ) y = a x · y (4) (a · b) x = a x  · b x (5) ​ 2  ​  a _ b ​  3 ​ x ​= ​  ​a​ x ​ _  ​b​ x ​ ​ Die zur Definition der Potenzen mit rationalen Exponenten nötigen Wurzeln sind so definiert: Definition Die n-te Wurzel aus a * ​ R ​ 0 ​  + ​ ist jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Symbolisch: ​ n 9 _ a​= x É x n = a  ?  x º 0 Rechenregeln für Wurzeln (1) ​ 2  ​ n 9 _ a​  3 ​ n ​= a , ​ 2  ​ n 9 __ ​a​ n ​​  3 ​= a , ​ 2  ​ n 9 _ a​  3 ​ k ​= ​ n 9 __ ​a​ k ​​ (3) ​ m 9 __ ​ n 9 _ a​​= ​ m·n 9 _ a​ (2) ​ n 9 ___ a · b​= ​ n 9 _ a​· ​ n 9 _ b​  und ​ n 9 _ ​  a _ b ​ ​= ​  ​ n 9 _ a​ _ ​ n 9 _ b​ ​(b ≠ 0) (4) ​ kn 9 __ ​a​ km ​ ​= ​ n 9 __ ​ a​ m ​​ Logarithmen Definition Der Logarithmus von b zur Basis a ist jene Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten (a, b * R + , a ≠ 1). Symbolisch: a log b = x É a x = b oder kurz: ​ a​ ​ ​ a ​log b ​= b  ( Merkregel: Basis Logarithmus = Numerus) Logarithmen zur Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen , Logarithmen zur Basis e (Euler’sche Zahl) natürliche Logarithmen . Statt e log x schreibt man ln x (Logarithmus naturalis von x). Rechenregeln für Logarithmen (1) a log(x · y) = a log x + a log y (3) a log(x y ) = y ·  a log x (4) b log x =  ​  a log x _ a log b ​ (2) a log ​  x _  y ​= a log x – a log y (5) ​ ​ ​  1 _ a ​ ​log x = –  a log x Komplexe Zahlen Wählt man a, b * R , dann sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich: „� i mit i 2 = –1 . . . . . . . imaginäre Einheit „� bi . . . . . . . . . . . . imaginäre Zahlen „� a + bi . . . . . . . . . . komplexe Zahlen (a heißt Realteil und b Imaginärteil der komplexen Zahl a + bi) „� a + bi und a – bi . . . . . konjugiert komplexe Zahlen C = Menge der komplexen Zahlen. Es gilt: R ² C Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier komplexer Zahlen sind wieder komplex: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i (a + bi) : (c + di) = ​  a + bi _  c + di ​= ​  ac + bd _  c 2 + d 2 ​+ ​  bc – ad _  c 2 + d 2 ​· i (falls c + di ≠ 0) Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv