Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

143 8.4 Räuber-Beute-Modelle Gleichgewicht Bei der Simulation eines Modells am Computer kann oft die Suche nach geeigneten Anfangs- und Parameterwerten, die ein bestimmtes Systemverhalten erzeugen sollen, schwierig sein. Manchmal ist es günstig, eine Simulation von einem Gleichgewichtszustand aus zu beginnen. Ein solcher Zustand ist dann gegeben, wenn für die Bestandsgrößen des Modells die jeweilige Zuflussrate und Abflussrate gleich groß sind. Aufgaben Vertiefung 8.18 Zeige für das oben erstellte Räuber-Beute-Modell, dass genau dann Gleichgewicht herrscht, wenn für alle t * N gilt: R(t) = ​  a – u _ v  ​und B(t) = ​  b – r _ s  ​! Berechne diese Größen für die in der Computersimulation verwendeten Werte a = 0,9, b = 0,6, u = 0,1, v = 0,008, r = 0,2, s = 0,0001! 8.19 (Fortsetzung von 8.18) Für das oben aufgestellte Räuber-Beute-Modell sei B(0) = 3000, R(0) = 50, a = 0,9, b = 0,6, u = 0,1, r = 0,2, Δ t = 0,1. Berechne v und s unter der Annahme, dass sich die beiden Populationen im Gleichgewicht befinden! Führe eine Computersimulation durch und stelle das Ergebnis grafisch dar! 8.20 Erstelle aufbauend auf dem obigen Räuber-Beute-Modell ein alternatives Räuber-Beute-Modell, in dem Wachstum mit Beschränkung für B bzw. R gilt! Gehe dabei von den folgenden Annahmen aus, führe eine Computersimulation durch und zeichne ein Phasendiagramm! a) BA 1 ist direkt proportional zum Quadrat von B und RA ist direkt proportional zu R. Computersimulation für B(0) = 3000, R(0) = 50, a = 0,9, b = 0,6, u = 0,0001, v = 0,02, r = 0,2, s = 0,0004 und Δ t = 0,1. b) RA ist direkt proportional zum Quadrat von R und BA 1 ist direkt proportional zu B. Computersimulation für B(0) = 3000, R(0) = 50, a = 0,9, b = 0,006, u = 0,02, v = 0,03, r = 0,02, s = 0,0001 und Δ t = 0,1. Vor- und Nachteile verschiedener Darstellungen von Prozessen Differenzengleichungen versus Differentialgleichungen: Viele Prozesse können durch Differential- gleichungen oder Differenzengleichungen beschrieben werden. Jede dieser Beschreibungsarten hat Vor-, aber auch Nachteile. Ein Vorteil der Differentialgleichungen gegenüber den Differenzen- gleichungen besteht darin, dass sie eine übersichtlichere Beschreibung zulassen, weil eine Variable weniger vorkommt (das Δ t fällt weg). Leider haben Differentialgleichungen den Nachteil, dass man nur selten die Lösungsfunktionen exakt angeben kann. In einem solchen Fall ersetzt man in der Praxis Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen, um die Lösungsfunktionen wenigstens näherungsweise berechnen und tabellieren zu können. Einzelne Rekursionsgleichung versus rekursives Gleichungssystem: Ein rekursives Gleichungs- system hat gegenüber einer einzelnen Rekursionsgleichung im Allgemeinen den Vorteil größerer Übersichtlichkeit. Zwar ist es in vielen Fällen möglich, ein rekursives Gleichungssystem durch fortlaufendes Einsetzen auf eine einzige Rekursionsgleichung zu reduzieren, doch wird diese Gleichung dadurch unter Umständen recht lang und unübersichtlich. Selbst wenn eine solche Reduktion möglich ist, zieht man daher oft ein rekursives Gleichungssystem einer einzelnen Rekursionsgleichung vor. In einem Gleichungssystem sind auch Änderungen leicht durchführbar, weil im Allgemeinen nur einzelne Gleichungen geändert werden müssen und nicht gleich das ganze System neu geschrieben werden muss. Dies erleichtert das Variieren der Modelle und das Experimentieren. Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv