Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

142 8 Vernetzte Systeme und deren Entwicklung Bemerkungen: � Das Produkt B · R kann als Anzahl der Kontaktmöglichkeiten gedeutet werden. Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann nämlich jedes der B Beutetiere mit einem der R Räuber in Kontakt kommen. Insgesamt gibt es also B · R mögliche Kontakte. � Die Annahme, dass BZ und BA 1 jeweils direkt proportional zu B ist, entspricht dem Modell des (diskreten) exponentiellen Wachstums. Diese Annahme bedeutet, dass die Beutepopulation ohne das Vorhandensein der Räuberpopulation exponentiell wachsen würde (sofern BZ > BA 1 ). � Die Annahme, dass RA und RZ 1 jeweils direkt proportional zu R ist, bedeutet, dass die Räuberpopulation ohne das Vorhandensein der Beutepopulation exponentiell abnehmen würde (sofern RA > RZ 1 ). Unsere Annahmen führen zu dem folgenden rekursiven Gleichungssystem: B(t + Δ t) = B(t) + BZ(t, t + Δ t) – BA 1 (t, t + Δ t) – – BA 2 (t, t + Δ t) R(t + Δ t) = R(t) + RZ 1 (t, t + Δ t) + RZ 2 (t, t + Δ t) – – RA(t, t + Δ t) BZ(t, t + Δ t) = Δ t · a · B(t) RA(t, t + Δ t) = Δ t · b · R(t) BA 1 (t, t + Δ t) = Δ t · u · B(t) BA 2 (t, t + Δ t) = Δ t · v · B(t) · R(t) RZ 1 (t, t + Δ t) = Δ t · r · R(t) RZ 2 (t, t + Δ t) = Δ t · s · B(t) · R(t) Wir führen eine Computersimulation mit folgenden Werten durch: B(0) = 3000, R(0) = 50, a = 0,9, b = 0,6, u = 0,1, v = 0,008, r = 0,2, s = 0,0001, Δ t = 0,1 Das Ergebnis ist in Abb. 8.4 graphisch dargestellt. (Beachte, dass auf der zweiten Achse für B und R unterschiedliche Maßeinheiten verwendet werden!) Eine andere graphische Darstellung findet sich in Abbildung 8.5. Diese bezeichnet man als Phasendiagramm . Dabei wird für jeden Zeitpunkt t der Zustand des Räuber-Beute-Systems durch den Punkt (B(t) 1 R(t)) in einem (B, R)-Koordinatensystem dargestellt, der zeitliche Verlauf der Entwicklung wird als Linie abgebildet. Aus beiden Abbildungen kann man entnehmen, dass die Werte von B und R „periodisch“ schwanken, wobei die Maxima der beiden Populationsgrößen zunehmen. Wäre das Verhalten tatsächlich periodisch, dann würde im Phasendiagramm eine geschlossene Linie auftreten, die immer wieder durchlaufen wird. Abb. 8.4 Abb. 8.5 B BZ BA 1 a u RZ 2 BA 2 s v R RZ 1 RA r b Ó 6000 B R 3000 0 0 t 200 400 100 300 500 R 12000 9000 15000 50 B B(t) 0 0 R(t) 100 200 300 20000 10000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv