Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

141 V Verdunstung S Sonnenschein T Temperatur der Erdoberfläche W Wassermange in de Erdatmosphäre B Bewölkung N Niederschläge – – – + + + + + + 8.4 Räuber-Beute-Modelle In Abb. 8.3a ist die Anzahl der Schneehasen, in Abb. 8.3b die Anzahl der Luchse in einer nordamerikanischen Region während des an- gegebenen Zeitraums dargestellt. (Die Anzah- len wurden aus entsprechenden Fangzahlen erschlossen.) In Abb. 8.3 c ist die Entwicklung beider Populationen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dargestellt. Dabei fallen eine gewisse „Parallelität“ der Entwicklungen sowie „periodische“ Schwankungen auf. Wie kann man das erklären? Abb. 8.3a Abb. 8.3b Abb. 8.3 c Schneehasen sind die bevorzugte Beute und Nahrung von Luchsen. Anfangs wächst die Schnee- hasenpopulation. Durch das vermehrte Nahrungsangebot wächst daraufhin auch die Luchs- population. Mehr Luchse erlegen aber mehr Schneehasen, wodurch die Schneehasenpopulation wieder abnimmt. Durch das verminderte Nahrungsangebot sinkt daraufhin auch die Luchs- population. Dadurch wächst wiederum die Schneehasenpopulation usw. Wir erstellen nun ein Modell, das die gemeinsame Entwicklung von Räuber- und Beute- population beschreibt. Es sei R(t) die Anzahl der Räuber und B(t) die Anzahl der Beutetiere zum Zeitpunkt t. Wir treffen folgende Annahmen für die Flussraten: � Die Zuflussrate BZ der Beutepopulation ist direkt proportional zu B. � Die Abflussrate RA der Räuberpopulation ist direkt proportional zu R. � Die Abflussrate der Beutepopulation setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: Die Komponente BA 1 entspricht dem natürlichen Abfluss und ist direkt proportional zu B. Die Komponente BA 2 entspricht dem durch die Räuberpopulation hervorgerufenen Abfluss und ist direkt proportional zum Produkt B · R. � Die Zuflussrate der Räuberpopulation setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: Die Komponente RZ 1 entspricht dem natürlichen Zufluss und ist direkt proportional zu R. Die Komponente RZ 2 entspricht dem durch die Beutepopulation (Nahrung) hervorgerufenen Zufluss und ist direkt proportional zum Produkt B · R. 20000 100000 0 Anzahl der Schneehasen 1910 1920 1930 Jahr 20000 100000 0 Anzahl der Luchse 1910 1920 1930 Jahr 20000 100000 0 Anzahl Schneehase Luchs 1910 1920 1930 Jahr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv