Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

140 8 Vernetzte Systeme und deren Entwicklung Aufgaben Grundkompetenzen 8.16 Modifiziere das Modell für das Wachstum mit Beschränkung unter folgender Annahme und untersuche die Populationsentwicklung mit selbst gewählten Parameterwerten! a)   PZ(t, t + Δ t) __Δ t  und   PA(t, t + Δ t) __Δ t  sind konstant. b) PZ ist direkt proportional zum Quadrat von P, PA ist direkt proportional zu P. Wachstum bei Selbstvergiftung Das Wachstum einer Population kann durch „Gifte“ beeinträchtigt werden, die durch das Wirken früherer Generationen entstanden sind. Solche Gifte können beispielsweise durch Umwelt- verschmutzung, durch Fehlentwicklungen in der Nahrungsmittelproduktion, durch atomare Katastrophen oder Ähnliches entstehen. Die Folgen solcher Ereignisse können im Allgemeinen nicht sofort beseitigt werden, sondern wirken viele Generationen nach. Wir untersuchen die Entwicklung einer solchen Population. Es sei P(t) die Populationsgröße und G(t) die vorhandene Giftmenge zum Zeitpunkt t. Wir treffen folgende Annahmen: � Die Zuflussrate PZ von P ist direkt proportional zu P:   PZ(t, t + Δ t) __Δ t  = z · P(t) � Die Abflussrate von P setzt sich aus zwei Teilen zusammen: Die natürliche Abflussrate PA 1 ist direkt proportional zu P:   PA 1 (t, t + Δ t) __Δ t  = a · P(t) Die durch die Giftwirkung hervorgerufene Abflussrate PA 2 ist direkt proportional zum Produkt P · G:   PA 2 (t, t + Δ t) __Δ t  = b · P(t) · G(t) (Das Produkt P(t) · G(t) drückt den Grad der Kontaktmöglichkeiten zwischen den P(t) Individuen und dem Gift aus.) � Die Giftzunahmerate GZ ist direkt proportional zu P:   GZ(t, t + Δ t) __Δ t  = c · P(t) Unsere Annahmen führen zu dem folgenden rekursiven Gleichungssystem. Man beachte, dass sich dieses Gleichungssystem nicht unmittelbar auf eine einzige Gleichung reduzieren lässt. P(t + Δ t) = P(t) + PZ(t, t + Δ t) – PA 1 (t, t + Δ t) – PA 2 (t, t + Δ t) G(t + Δ t) = G(t) + GZ(t, t + Δ t) PZ(t, t + Δ t) = z · P(t) · Δ t PA 1 (t, t + Δ t) = a · P(t) · Δ t PA 2 (t, t + Δ t) = b · G(t) · P(t) · Δ t GZ(t, t + Δ t) = c · P(t) · Δ t Aufgaben Vertiefung 8.17 Führe mit Hilfe eines Computers eine Simulation der Populationsentwicklung anhand des Gleichungssystems für das Wachstum bei Selbstvergiftung durch. Verwende dabei folgende Werte: P(0) = 1 000, G(0) = 0, z = 0,3, a = 0,1, b = 0,001, c = 0,01, Δ t = 2. Stelle die Entwicklung von P und G grafisch dar! Erkläre, warum P anfangs zunimmt und dann auf null absinkt bzw. warum G zunimmt und sich schließlich einem konstanten Wert nähert! P PZ z PA 1 a G GZ c PA 2 b Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv