Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

139 8.3 Modelle der Populationsentwicklung Daraus folgt: ​  P(t + Δ t) – P(t) __Δ t  ​= k · P(t) Für Δ t ¥ 0 ergibt sich: P’(t) = k · P(t) Diese Differentialgleichung beschreibt ein unbeschränktes exponentielles Wachstum (siehe Seite 128). Lösungsfunktion mit der Anfangsbedingung P(0) = ​P​ 0 ​: P(t) = P 0  · e kt Aufgaben Grundkompetenzen 8.14 Modifiziere das Modell eines unbeschränkten exponentiellen Wachstums unter folgender Annahme und untersuche die Populationsentwicklung mit selbst gewählten Parameterwerten! a) PZ ist direkt proportional zu P und es erfolgt kein Abfluss. b) PA ist direkt proportional zu P und es erfolgt kein Zufluss. Wachstum bei Beschränkung Wir verwenden dieselben Bezeichnungen wie vorhin, treffen jedoch folgende Annahmen: Die mittlere Zuflussrate der Populationsgröße im Zeitintervall [t, t + Δ t] sei nach wie vor direkt proportional zu P(t), die mittlere Abflussrate der Populationsgröße im Zeitintervall [t, t + Δ t] sei aber direkt proportional zum Quadrat von P(t): ​  PZ(t, t + Δ t) __Δ t  ​= z · P(t) und ​  PA(t, t + Δ t) __Δ t  ​= a · [P(t)​ ]​ 2 ​ Daraus ergibt sich das folgende rekursive Gleichungssystem: P(t + Δ t) = P(t) + PZ(t, t + Δ t) – PA(t, t + Δ t) PZ(t, t + Δ t) = z · P(t) · Δ t PA(t, t + Δ t) = a · [P(t)​ ]​ 2 ​· Δ t 8.15 Es sei P(t) die Größe einer Population zum Zeitpunkt t (in Jahren) und P(0) = 1 000. Berechne anhand des aufgestellten rekursiven Gleichungssystems mit z = 0,04, a = 0,0001 und Δ t = 5 die Werte P(0), P(5), P(10), P(15) und P(20)! Um festzustellen, welche Art des Wachstums durch dieses Gleichungssystem beschrieben wird, setzen wir wieder die Terme für PZ(t, t + Δ t) und PA(t, t + Δ t) in die erste Gleichung ein: P(t + Δ t) = P(t) + z · P(t) · Δ t – a · [P(t)​ ]​ 2 ​· Δ t = P(t) + Δ t · a · P(t) · ​ 4  ​  z _ a ​– P(t)  5 ​ Zur Vereinfachung setzen wir noch ​  z _ a ​= K und erhalten: P(t + Δ t) = P(t) + Δ t · a · P(t) · [K – P(t)] ​  P(t + Δ t) – P(t) __Δ t  ​= a · P(t) · [K – P(t)] Für Δ t ¥ 0 ergibt sich: P’(t) = a · P(t) · [K – P(t)] Diese Differentialgleichung beschreibt ein kontinuierliches logistisches Wachstum (siehe Seite 130). Lösungsfunktion mit der Anfangsbedingung P(0) = ​P​ 0 ​: P(t) = ​  K · ​P​ 0 ​ ___   ​P​ 0 ​+ (K – ​P​ 0 ​) · ​e​ –aKt ​ ​ Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv