Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

138 V Verdunstung S Sonnenschein T Temperatur der Erdoberfläche W Wassermange in der Erdatmosphäre B Bewölkung N Niederschläge – – – + + + + + + 8.3 Modelle der Populations ntwicklung Unbeschränktes exponentielles Wachstum Es sei P die Anzahl der Personen (Individuen) in einer Population. Die Population kann durch Zufluss (Geburten, Zuwanderung) vergrößert und durch Abfluss (Sterbefälle, Abwanderung) verkleinert werden. Wir verwenden folgende Bezeichnungen: P(t) . . . . . Größe der Population zum Zeitpunkt t (in Jahren) PZ(t, t + Δ t) . . Populationszunahme im Zeitintervall [t, t + Δ t] PA(t, t + Δ t) . . Populationsabnahme im Zeitintervall [t, t + Δ t] Wir nehmen an, dass die mittlere Zuflussrate bzw. Abflussrate im Intervall [t, t + Δ t] jeweils direkt proportional zur jeweiligen Populationsgröße P(t) ist: ​  PZ(t, t + Δ t) __ Δ t  ​= z · P(t) und ​  PA(t, t + Δ t) __Δ t  ​= a · P(t) Damit ergibt sich das folgende rekursive Gleichungssystem: P(t + Δ t) = P(t) + PZ(t, t + Δ t) – PA(t, t + Δ t) PZ(t, t + Δ t) = z · P(t) · Δ t PA(t, t + Δ t) = a · P(t) · Δ t Falls eine Anfangsbedingung P(0) = ​P​ 0 ​gegeben ist, kann man mit Hilfe dieses Gleichungs- systems der Reihe nach die Werte P(0), P( Δ t), P(2 · Δ t), P(3 · Δ t), … berechnen. Bei jedem Schritt geht man dabei folgendermaßen vor: „� Man berechnet PZ(t, t + Δ t) und PA(t, t + Δ t) mit Hilfe der zweiten und dritten Gleichung. „� Diese Werte setzt man dann in die erste Gleichung ein und erhält P(t + Δ t). 8.13 Es sei P(t) die Größe einer Population zum Zeitpunkt t (in Jahren) und P(0) = 1 000. Berechne anhand des obigen rekursiven Gleichungssystems mit z = 0,04, a = 0,02 und Δ t = 5 die Werte P(0), P(5), P(10), P(15) und P(20)! Lösung: 1. Schritt: PZ(0; 5) = z · P(0) · Δ t = 0,04 · 1 000 · 5 = 200 PA(0; 5) = a · P(0) · Δ t = 0,02 · 1 000 · 5 = 100 P(5) = P(0) + PZ(0; 5) – PA(0; 5) = 1 000 + 200 – 100 = 1100 2. Schritt: PZ(5; 10) = z · P(5) · Δ t = 0,04 · 1100 · 5 = 220 PA(5; 10) = a · P(5) · Δ t = 0,02 · 1100 · 5 = 110 P(10) = P(5) + PZ(5; 10) – PA(5; 10) = 1100 + 220 – 110 = 1 210 Setze selbst fort! Um festzustellen, welche Art des Wachstums durch das rekursive Gleichungssystem beschrieben wird, setzen wir die Terme für PZ(t, t + Δ t) und PA(t, t + Δ t) in die erste Gleichung ein: P(t + Δ t) = P(t) + z · P(t) · Δ t – a · P(t) · Δ t = P(t) + (z – a) · P(t) · Δ t Zur Vereinfachung setzen wir noch z – a = k und erhalten: P(t + Δ t) = P(t) + k · P(t) · Δ t P PZ PA z a Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv