Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

131 c P(0) P( Δ t)·a Δ t P(0)·a Δ t P(2· Δ t)· 7.3 Kontrolle: Grundwissen und Grundkompetenzen Grundwissen � 7.21 Gib ein Beispiel einer Differenzengleichung an! � 7.22 Wie kann  a) lineares Wachsen,  b) exponentielles Wachsen durch eine Differenzengleichung beschrieben werden? � 7.23 Was versteht man unter einer Differentialgleichung, was unter der Lösung einer Differential- gleichung? Gib ein Beispiel an! � 7.24 Erläutere an einem Beispiel den Übergang einer Differenzengleichung in eine Differential- gleichung! � 7.25 Wie kann  a) lineares Wachsen  b) exponentielles Wachsen durch eine Differentialgleichung beschrieben werden? � 7.26 Nenne Vorgänge, die sich durch eine Differentialgleichung der Form f’(x) = k · f(x) beschreiben lassen! Grundkompetenzen � 7.27 Für eine Größe G gilt: G(0) = 10 und G(n + 1) = a · G(n) + 6 (mit n * N ; a * R + ). a) Wie groß ist G(3)? b) Berechne die Werte G(n) für n = 0, 1, 2, 3, 4, falls a = 1,5 , a = 1 bzw. a = 0,1! Nehmen die Werte in allen drei Fällen mit wachsendem n zu? c) Zeige, dass G(n) = ​  6 +  (4 – 10a) · a n ___ 1 – a  mit a ≠ 1 die rekursive Darstellung erfüllt! � 7.28 Es sei f: R ¥ R . Kreuze an, was zutrifft! trifft zu Eine Differentialgleichung enthält die 1. Ableitung einer Funktion.  Die Lösungen einer Differentialgleichung sind reelle Zahlen.  Die Differentialgleichung f’(x) = f(x) besitzt nur die Lösung f mit f(x) = e x .  Die Lösungen der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x) sind Exponentialfunktionen.  Jede Lösung der Differentialgleichung f’’(x) = 0 ist eine nichtlineare Funktion.  � 7.29 Welche der folgenden vier Funktionen erfüllen die Differentialgleichung f’’(x) = – f(x)? (1) f(x) = x 2 (2) f(x) = sin x (3) f(x) = cos x (4) f(x) = sin x – cos x � 7.30 Wird ein Körper mit der Temperatur A in einen Raum mit der konstant gehaltenen Temperatur B < A gebracht, so kühlt er ab. Ist T(t) die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t (in Minuten nach Beginn des Vorgangs), so nimmt die Temperaturdifferenz T(t) – B exponentiell ab. 1) Stelle eine Formel für T(t) auf, wenn die Differenz T(t) – B pro Minute um ​  1 _  10 ​ihres Betrages sinkt! 2) Gib die Änderungsgeschwindigkeit der Temperatur zum Zeitpunkt t an! 3) Gilt T’(t) = k · T(t)? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv