Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

130 7 Differenzen- und Differentialgleichungen Logistisches Wachsen Es sei P(t) die Größe einer Population zum Zeitpunkt t. Wir nehmen wieder an, dass die Funktion P auf ℝ 0   + definiert und differenzierbar ist. Weiters nehmen wir an, dass die Populationsgröße P(t) durch eine Konstante K nach oben beschränkt ist und dass die mittlere Änderungsrate der Populationsgröße direkt proportional zur Populationsgröße P(t) und dem noch vorhandenen „Wachstumsspielraum“ K – P(t) ist (Proportionalitätsfaktor a):   P(t + Δ t) – P(t) ___ Δ t  = a · P(t) · [K – P(t)] Für Δ t ¥ 0 geht diese Differenzengleichung über in die Differentialgleichung: P’(t) = a · P(t) · [K – P(t)] Diese Differentialgleichung beschreibt ein kontinuierliches logistisches Wachstum (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 78). Typische Formen der Lösungsfunktionen dieser Differentialgleichung sind in den folgenden Abbildungen dargestellt. P(t) =   K · P 0 ___   P 0 + (K – P 0 ) · e –aKt mit P 0 < K P(t) =   K · P 0 ___   P 0 + (K – P 0 ) · e –aKt mit P 0 > K Aufgaben Vertiefung 7.18 Zeige durch Nachrechnen, dass die Funktion P mit P(t) =   K · P 0 ___   P 0 + (K – P 0 ) · e –aKt die Differentialgleichung P’(t) = a · P(t) · [K – P(t)] mit der Anfangsbedingung P(0) = P 0 erfüllt und somit eine Lösung dieser Differentialgleichung ist! 7.19 Ermittle eine Lösungsfunktion der Differentialgleichung P’(t) = a · P(t) · [K – P(t)] für folgende Angaben und skizziere den Graphen der Lösungsfunktion! a) K = 1 000, P 0 = 100, a = 0,01 b) K = 1 000, P 0 = 2000, a = 0,01 Schwingungen Es sei s(t) = r · sin ( ω t + φ ) die Elongation einer harmonischen Schwingung zum Zeitpunkt t. Man kann zeigen, dass die Funktion s die folgende Differentialgleichung erfüllt: s’’(t) = – ω 2 · s(t) Aufgaben Vertiefung 7.20 Zeige, dass die Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = a · sin( ω t + φ ) + b · cos( ω t + φ ) eine Lösung der Differentialgleichung s’’(t) = – ω 2 · s(t) ist! P 0 0 K P(t) P 0 0 K P(t) Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv