Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

129 7.2 Differentialgleichungen Daraus folgt: f(x) = c · e kx 2) Wir zeigen umgekehrt: f(x) = c · e kx w f’(x) = k · f(x) f(x) = c · e kx w f’(x) = c · k · e kx = k · (c · e kx ) = k · f(x)  Falls eine Anfangsbedingung f(0) = f 0 gegeben ist, kann man c ermitteln: f(0) = c · e k · 0 = c, also c = f(0) = f 0 Damit ergibt sich die eindeutig bestimmte Lösungsfunktion f mit f(x) = f 0 · e kx . Aufgaben Grundkompetenzen 7.13 Bei einem radioaktiven Zerfall sei N(t) die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch unzerfallenen Atome. Die mittlere Änderungsrate von N im Intervall [t, t + Δ t] ist direkt proportional zu N(t) (Proportionalitätsfaktor = – r). 1) Zeige, dass die Funktion N die Differentialgleichung N’(t) = – r · N(t) erfüllt! 2) Ermittle die Lösungsfunktion dieser Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung N(0) = N 0 ! 7.14 Ermittle die Funktion f, die die folgende Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangs- bedingung erfüllt! Skizziere den Graphen von f! a) f’(x) = 2 · f(x), f(0) = 1 b) f’(x) =   1 _ 2 · f(x), f(1) = e c) f’(x) = – 2 · f(x), f(0) = 2 · 10 3 d) f’(x) = –   1 _ 2 · f(x), f(0) = –10 –10 7.15 Die Funktion f mit f(x) = c · a x (und c, a * R + ) ist eine Lösung der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x). Drücke a durch k aus! 7.16 Die Funktion f mit f(x) = c · a x (und c, a * R + ) ist eine Lösung der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x). Für welche Werte von k beschreibt f einen Wachstumsprozess, für welche einen Abnahmeprozess? 7.17 Es sei A(t) die Anzahl der Bakterien einer Kultur zum Zeitpunkt t (t in Stunden). Die Funktion A erfüllt näherungsweise die Differentialgleichung A’(t) = 5 · A(t). Kreuze an, was zutrifft! trifft zu Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl ist konstant.  Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl ist direkt proportional zur jeweils vorhandenen Bakterienanzahl.  Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl wächst linear mit der Zeit.  Die Bakterienanzahl wächst exponentiell mit der Zeit.  Für konstantes Δ t ist die relative Zunahme   A(t + Δ t) – A(t) _ A(t)  für jedes t gleich groß.  Die Verdopplungszeit beträgt ungefähr 5 Stunden.  Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv