Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch
129 7.2 Differentialgleichungen Daraus folgt: f(x) = c · e kx 2) Wir zeigen umgekehrt: f(x) = c · e kx w f’(x) = k · f(x) f(x) = c · e kx w f’(x) = c · k · e kx = k · (c · e kx ) = k · f(x) Falls eine Anfangsbedingung f(0) = f 0 gegeben ist, kann man c ermitteln: f(0) = c · e k · 0 = c, also c = f(0) = f 0 Damit ergibt sich die eindeutig bestimmte Lösungsfunktion f mit f(x) = f 0 · e kx . Aufgaben Grundkompetenzen 7.13 Bei einem radioaktiven Zerfall sei N(t) die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch unzerfallenen Atome. Die mittlere Änderungsrate von N im Intervall [t, t + Δ t] ist direkt proportional zu N(t) (Proportionalitätsfaktor = – r). 1) Zeige, dass die Funktion N die Differentialgleichung N’(t) = – r · N(t) erfüllt! 2) Ermittle die Lösungsfunktion dieser Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung N(0) = N 0 ! 7.14 Ermittle die Funktion f, die die folgende Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangs- bedingung erfüllt! Skizziere den Graphen von f! a) f’(x) = 2 · f(x), f(0) = 1 b) f’(x) = 1 _ 2 · f(x), f(1) = e c) f’(x) = – 2 · f(x), f(0) = 2 · 10 3 d) f’(x) = – 1 _ 2 · f(x), f(0) = –10 –10 7.15 Die Funktion f mit f(x) = c · a x (und c, a * R + ) ist eine Lösung der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x). Drücke a durch k aus! 7.16 Die Funktion f mit f(x) = c · a x (und c, a * R + ) ist eine Lösung der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x). Für welche Werte von k beschreibt f einen Wachstumsprozess, für welche einen Abnahmeprozess? 7.17 Es sei A(t) die Anzahl der Bakterien einer Kultur zum Zeitpunkt t (t in Stunden). Die Funktion A erfüllt näherungsweise die Differentialgleichung A’(t) = 5 · A(t). Kreuze an, was zutrifft! trifft zu Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl ist konstant. Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl ist direkt proportional zur jeweils vorhandenen Bakterienanzahl. Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl wächst linear mit der Zeit. Die Bakterienanzahl wächst exponentiell mit der Zeit. Für konstantes Δ t ist die relative Zunahme A(t + Δ t) – A(t) _ A(t) für jedes t gleich groß. Die Verdopplungszeit beträgt ungefähr 5 Stunden. Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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