Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch
128 7 Differenzen- und Differentialgleichungen Exponentielles Wachsen und Abnehmen Für eine exponentiell wachsende Populationsgröße ist die Änderungsrate in [t; t + Δ t] direkt proportional zu P(t): (1) P(t + Δ t) – P(t) ___ Δ t = k · P(t) Wir lassen Δ t gegen 0 streben: lim Δ t ¥ 0 P(t + Δ t) – P(t) __Δ t = k · P(t) (2) P’(t) = k · P(t) Wiederum sehen wir: Durch den Grenzübergang Δ t ¥ 0 geht die Differenzengleichung (1) in die Differentialgleichung (2) über. 7.12 Zeige: 1) Jede Funktion P: ℝ 0 + ¥ R mit P(t) = c · e kt (und c * R ) erfüllt die Differentialgleichung P’(t) = k·P(t). 2) Ermittle unter diesen Funktionen jene, die die Differentialgleichung P’(t) = k · P(t) mit der Anfangsbedingung P(0) = P 0 erfüllt! Lösung: 1) P’(t) = c · k · e kt = k · (c · e kt ) = k · P(t) 2) P(0) = c · e k · 0 = c, also c = P(0) = P 0 . Damit ergibt sich die Funktion P mit P(t) = P 0 · e kt . Die Differentialgleichung f’(x) = k · f(x) Die Differentialgleichung P'(t) = k · P(t) ist von der Form f’(x) = k · f(x) . Wie in Aufgabe 7.12 kann man zeigen: Jede Funktion f mit f(x) = c · e kx (und c * R ) ist Lösung dieser Differentialgleichung. Der folgende Satz besagt darüber hinaus, dass genau die Funktionen dieses Typs Lösungen dieser Differentialgleichung sind. Satz Sei f eine in einem Intervall definierte, differenzierbare Funktion und sei k * R . Dann gilt: f’(x) = k · f(x) É f(x) = c · e kx (mit c * R ) Beweis: 1) Wir zeigen: f’(x) = k · f(x) w f(x) = c · e kx . Es gelte f’(x) = k · f(x), also f’(x) – k · f(x) = 0. Zu zeigen ist: f(x) = c · e kx , was äquivalent zu f(x) · e –kx = c ist. Wir betrachten dazu die Funktion g mit g(x) = f(x) · e –kx und berechnen deren Ableitung: g’(x) = f’(x) · e –kx + f(x) · (– k) · e –kx = [f’(x) – k · f(x)] · e –kx Weil nach Voraussetzung f’(x) – k · f(x) = 0 gilt, folgt daraus g’(x) = 0. Somit muss g eine konstante Funktion sein: g(x) = f(x) · e –kx = c (mit c * R ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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