Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

128 7 Differenzen- und Differentialgleichungen Exponentielles Wachsen und Abnehmen Für eine exponentiell wachsende Populationsgröße ist die Änderungsrate in [t; t + Δ t] direkt proportional zu P(t): (1) ​  P(t + Δ t) – P(t) ___ Δ t  ​= k · P(t) Wir lassen Δ t gegen 0 streben: ​ lim     Δ t ¥  0 ​​  P(t + Δ t) – P(t) __Δ t  ​= k · P(t) (2) P’(t) = k · P(t) Wiederum sehen wir: Durch den Grenzübergang Δ t ¥ 0 geht die Differenzengleichung (1) in die Differentialgleichung (2) über. 7.12 Zeige: 1) Jede Funktion P: ​ ℝ ​ 0 ​  + ​ ¥ R mit P(t) = c · ​e​ kt ​(und c * R ) erfüllt die Differentialgleichung P’(t) = k·P(t). 2) Ermittle unter diesen Funktionen jene, die die Differentialgleichung P’(t) = k · P(t) mit der Anfangsbedingung P(0) = ​P​ 0 ​erfüllt! Lösung: 1) P’(t) = c · k · ​e​ kt ​= k · (c · ​e​ kt ​) = k · P(t) 2) P(0) = c · e k · 0 = c, also c = P(0) = ​P​ 0 ​ . Damit ergibt sich die Funktion P mit P(t) = ​P​ 0 ​· ​e​ kt ​. Die Differentialgleichung f’(x) = k · f(x) Die Differentialgleichung P'(t) = k · P(t) ist von der Form f’(x) = k ·  f(x) . Wie in Aufgabe 7.12 kann man zeigen: Jede Funktion f mit f(x) = c · ​e​ kx ​(und c * R ) ist Lösung dieser Differentialgleichung. Der folgende Satz besagt darüber hinaus, dass genau die Funktionen dieses Typs Lösungen dieser Differentialgleichung sind. Satz Sei f eine in einem Intervall definierte, differenzierbare Funktion und sei k * R . Dann gilt: f’(x) = k · f(x) É  f(x) = c · e kx (mit c * R ) Beweis: 1) Wir zeigen: f’(x) = k · f(x)  w  f(x) = c · ​e​ kx ​. Es gelte f’(x) = k · f(x), also f’(x) – k · f(x) = 0. Zu zeigen ist: f(x) = c · e kx , was äquivalent zu f(x) · ​e​ –kx ​= c ist. Wir betrachten dazu die Funktion g mit g(x) = f(x) · e –kx und berechnen deren Ableitung: g’(x) = f’(x) · ​e​ –kx ​+ f(x) · (– k) · ​e​ –kx ​= [f’(x) – k · f(x)] · ​e​ –kx ​ Weil nach Voraussetzung f’(x) – k · f(x) = 0 gilt, folgt daraus g’(x) = 0. Somit muss g eine konstante Funktion sein: g(x) = f(x) · e –kx = c (mit c * R ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv