Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

127 c P(0) P( Δ t)·a Δ P(0)·a Δ t P(2· Δ t)· 7.2 Differentialgleichungen Lineares Wachsen und Abnehmen Für eine linear wachsende Populationsgröße P(t) ist die Änderungsrate in [t; t + Δ t] stets konstant: (1) ​  P(t + Δ t) – P(t) ___ Δ t  ​= k Die Populationsgröße ändert sich in Wirklichkeit immer wieder sprunghaft. Um aber Methoden der Differentialrechnung anwenden zu können, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Funktion P auf ​ ℝ ​ 0 ​  + ​definiert und differenzierbar (und somit auch stetig) ist. Wir lassen Δ t gegen 0 streben: ​ lim     Δ t ¥  0 ​ P(t + Δ t) – P(t) __Δ t  ​= k (2) P’(t) = k Die Gleichung (1) ist eine Differenzengleichung (weil in ihr die Differenzen Δ t und Δ P = P(t + Δ t) – P(t) vorkommen), die Gleichung (2) bezeichnet man als Differentialgleichung , weil in ihr eine Ableitung vorkommt. Wir sehen: Durch den Grenzübergang Δ t ¥ 0 geht die Differenzengleichung (1) in die Differential- gleichung (2) über. 7.11 Zeige: 1) Jede Funktion P: ​ ℝ ​ 0 ​  + ​ ¥ R mit P(t) = k · t + d (und k, d * R ) erfüllt die Differentialgleichung P’(t) = k. 2) Ermittle unter diesen Funktionen jene, die die Differentialgleichung P’(t) = k mit der Anfangs- bedingung P(0) = ​P​ 0 ​erfüllt! 3) Zeige, dass die unter 1) genannten Funktionen die einzigen stetigen Funktionen sind, die die Differentialgleichung P’(t) = k erfüllen! Lösung: 1) Für P(t) = k · t + d gilt P’(t) = k. 2) Aus P(0) = d = P 0 folgt P(t) = k · t + ​P​ 0 ​ . 3) Aus P’(t) = k folgt durch unbestimmtes Integrieren P(t) = k · t + d. Die Differentialgleichung P’(t) = k ist von der Form f’(x) = k . Allgemein bezeichnet man eine Gleichung als Differentialgleichung für eine Funktion f, wenn in ihr (erste oder höhere) Ableitungen von f auftreten. Jede Funktion f, für die die vorgegebene Differentialgleichung gilt, nennt man eine Lösungsfunktion oder kurz Lösung der Differentialgleichung . Beachte: Die Lösungen einer Differentialgleichung sind nicht Zahlen, sondern Funktionen. Beispiele für Differentialgleichungen: f’(x) = k · x (mit k * R) f’’(x) = k · f(x) (mit k * R) f’(x) + f’’(x) = 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv