Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

126 7 Differenzen- und Differentialgleichungen 7.05 Ordne jeder Termdarstellung die passende rekursive Darstellung zu (c * R + )! Zeichne Verbindungslinien! f(x) = c f(0) = 0 und f(x + Δ x) = f(x) + c · Δ x f(x) = c · x f(0) = 1 und f(x + Δ x) = ​ c ​ Δ x​ ​ · f(x) f(x) = ​ c ​ x ​ f(0) = c und f(x + Δ x) = f(x) 7.06 Die folgende Tabelle gibt den Kontostand (in Euro) auf einem Konto an. Gib eine Termdarstellung und eine rekursive Darstellung der Funktion K an, die jedem Monat n den Kontostand K(n) zu- ordnet! Jän Feb März April Mai Juni Juli Aug Sept Okt Nov Dez 2000 1750 1 500 1 250 1 000 750 500 250 0 – 250 – 500 –750 7.07 In zwei Warenlagern befinden sich nach n Wochen L 1  (n) bzw. L 2  (n) Stück einer Ware. Aus jedem der beiden Lager wird wöchentlich eine konstante Warenmenge entnommen. Für n = 0, 1, 2, 3, … gilt: L 1  (0) = 3200 und L 1  (n + 1) = L 1  (n) – 80, L 2  (0) = 2400 und L 2  (n + 1) = L 2  (n) – 40 a) Wann ist das erste, wann das zweite Lager leer? b) Nach wie vielen Wochen befindet sich in beiden Lagern die gleiche Stückzahl? 7.08 Ein Kapital von K 0 Euro wird jährlich mit p% verzinst. Es sei K die Funktion, die jedem Zeitpunkt n (in Jahren) die Höhe des Kapitals K(n) (in Euro) zuordnet. 1) Gib eine Anfangsbedingung und eine Rekursionsgleichung für K an! 2) Berechne K(n) für n = 0, 1, 2, 3, 4 mit K 0 = 1 000€ und p = 2! 7.09 Ein Patient erhält jeden Morgen 20mg eines Medikaments. Von diesem Medikament werden bis zum nächsten Morgen 80% abgebaut. Es sei W(n) die nach n Tagen nach der morgendlichen Medikamentengabe vorhandene Medikamentenmenge im Körper. 1) Gib eine Anfangsbedingung und eine Rekursionsgleichung für W(n) an! 2) Berechne W(n) für n = 0, 1, 2, … , 6! Welche Vermutung ergibt sich? 3) Zeige: W(n) < 25  w  W( n + 1) < 25. 4) Was würde passieren, wenn W(n) = 25 wäre? 5) Ein anderer Patient erhält ein Medikament, dessen Verlauf sich durch W(0) = 35 und W(n + 1) = 35 + 0,3 ·W(n) beschreiben lässt. Interpretiere die auftretenden Zahlen! 7.10 Ein Lieferwagen kostet neu 34800€ und verliert jährlich 25% an Wert. Es sei P(n) der Wert des Autos nach n Jahren. a) Gib eine Termdarstellung und eine rekursive Darstellung für P an! b) Berechne mit Hilfe beider Darstellungen den Wert des Autos nach 0, 1, 2, 3, 4 Jahren! Wie viel verliert das Auto im ersten Jahr an Wert, wie viel im vierten Jahr? c) Eine Firma beschließt, den Lieferwagen wieder zu verkaufen, wenn sein Wert unter ein Fünftel des Neuwertes gesunken ist. Nach wie vielen Jahren ist das der Fall? d) Für ein anderes Transportmodell findet man in einer Broschüre die Angaben in der folgenden Tabelle. Dabei wurden die Werte offensichtlich auf 500€ gerundet. Wie groß ist der prozentuelle jährliche Wertverlust dieses Autos ungefähr? Jahre nach Kauf 0 1 2 3 4 5 6 7 Wert (in Euro) 42000 32500 25500 20000 15500 12000 9500 7500 Ó  Lernapplet 5ea4ky Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv