Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

125 7.1 Differenzengleichungen 7.01 a) Es gelte P(0) = d und P(n + 1) = P(n) + k. Ermittle P(n) für n = 0, 1, 2, 3 mit d = 1,5 und k = 0,5! b) Es gelte P(0) = d und P(t + Δ t) = P(t) + k · Δ t. Ermittle P(n · Δ t) für n = 0, 1, 2, 3 mit d = 1 000, k = 400 und Δ t = 2! Lösung: a) P(0) = 1,5 b) P(0) = 1 000 P(1) = P(0) + k = 1,5 + 0,5 = 2 P(2) = P(0) + k · Δ t = 1 000 + 400 · 2 = 1 800 P(2) = P(1) + k = 2 + 0,5 = 2,5 P(4) = P(2) + k · Δ t = 1 800 + 400 · 2 = 2600 P(3) = P(2) + k = 2,5 + 0,5 = 3 P(6) = P(4) + k · Δ t = 2600 + 400 · 2 = 3400 Die Gleichung P(t + Δ t) = P(t) + k · Δ t kann man auch in der Form P(t + Δ t) – P(t) = k · Δ t bzw. Δ P = k · Δ t mit Δ P = P(t + Δ t) – P(t) schreiben. Man bezeichnet sie als Differenzengleichung , weil in ihr die Differenzen Δ P und Δ t vorkommen. Exponentielles Wachsen und Abnehmen Es sei nun P(n) die Größe einer exponentiell wachsenden Population zum Zeitpunkt n. Zu Beginn sei die Populations- größe gleich c, pro Jahr wachse sie mit dem Faktor a > 1. Man erhält folgende rekursive Darstellung des Wachstums - prozesses (siehe nebenstehende Abbildung): P(0) = c  und  P(n + 1) = P(n) · a Allgemein betrachten wir anstelle von Jahren beliebige, gleich große Zeitabschnitte Δ t. Es gilt (siehe nebenstehende Abbildung): P(0) = c  und  P(t + Δ t) = P(t) · ​a ​ Δ t​ ​ Aufgaben Grundkompetenzen 7.02 a) Es gelte P(0) = c und P(n + 1) = P(n) · a. Ermittle P(n) für n = 0, 1, 2, 3 mit c = 100 und a = 1,1! b) Es gelte P(0) = c und P(t + Δ t) = P(t) · ​a​ Δ t​ ​. Ermittle P(n · Δ t) für n = 0, 1, 2, 3 mit c = 50, a = 1,2 und Δ t = 5! 7.03 Gegeben sei die Differenzengleichung f(x + Δ x) = ​ 9 __ f(x)​+ Δ x. Ermittle f( Δ x), f(2 · Δ x), f(3 · Δ x), f(4 · Δ x) und f(5 · Δ x) für f(0) = 1 000 und Δ x = 100! 7.04 Gegeben sei die Differenzengleichung f(x + Δ x) = ln[f(x)] + Δ x. Ermittle f( Δ x), f(2 · Δ x), f(3 · Δ x), f(4 · Δ x) und f(5 · Δ x) für f(0) = 500 und Δ x = 10! P(0)·a c P(0) P(1)·a P(2)·a P(3)·a 1 2 3 4 5 n (in Jahren) 0 P(n) P(4)·a P(2 · Δ t) · a Δ t P( Δ t) · a Δ t Δ t 2 · Δ t 3 · Δ t P(0) · a Δ t c P(0) P(t) 0 t Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv