Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

124 c P(0) P( Δ t)·a Δ P(0)·a Δ t P(2· Δ t)· Grundkompetenzen „� Veränderungen von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben und diese im Kontext deuten können. „� Veränderungen von Größen durch Differentialgleichungen beschreiben und diese im Kontext deuten können. 7.1 Differenzengleichungen Lineares Wachsen und Abnehmen Es sei P(n) die Größe einer linear wachsenden Population zum Zeitpunkt n (in Jahren). Zu Beginn sei die Populationsgröße gleich d, pro Jahr wachse sie um den gleichen Betrag k. Es gilt: P(0) = d  und  P(n + 1) = P(n) + k Man bezeichnet diese Darstellung als rekursive Darstellung des linearen Wachstumsprozesses. Ausgehend von der Anfangsbedingung P(0) = d kann man mit Hilfe der Rekursionsgleichung P(n + 1) = P(n) + k der Reihe nach die Werte P(1), P(2), … berechnen. Wir verallgemeinern diese Situation. Anstelle von Jahren betrachten wir beliebige, gleich große Zeitabschnitte Δ t. Es gilt: P(0) = d  und  P(t + Δ t) = P(t) + k · Δ t In diesem Fall kann man ausgehend von der Anfangsbedingung P(0) = d mit Hilfe der Gleichung P(t + Δ t) = P(t) + k · Δ t der Reihe nach die Werte P( Δ t), P(2 · Δ t), P(3 · Δ t), … berechnen. d k k k k 1 2 3 4 n (in Jahren) 0 P(n) d k· Δ t k· Δ t k· Δ t k· Δ t Δ t Δ t Δ t Δ t t 0 P(t) 7 Differenzen- und Differentialgleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv