Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

120 μ 0 z –z k 2 k 1 0,025 0,025 6.6 Ergänzende Bemerkungen zu Anteilstests Die Grundidee eines Anteilstests Diese Grundidee wird hier an einem rechtsseitigen Anteilstest erläutert (siehe Abb. 6.5). Die Behauptung, die man eigentlich untermauern will, ist die Alternativhypothese H 1  . Zu diesem Zweck stellt man die Nullhypothese H 0 probehalber als eine Art „Strohmann“ auf und versucht, diesen umzuwerfen. Dazu erhebt man eine Stichprobe vom Umfang n, ermittelt den Wert k der untersuchten Häufigkeit H und berechnet die Irrtumswahrscheinlichkeit P(H º k). Ist diese höchstens gleich der Signifikanzzahl α , kann der Strohmann umgeworfen, dh. die Nullhypothese verworfen werden. Ist die Irrtumswahrscheinlichkeit jedoch größer als α , kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. In diesem Fall kann man über die Gültigkeit der Nullhypothese (bzw. Alternativhypothese) nichts aussagen. Der Test war umsonst. Abb. 6.5 Zum besseren Verständnis besprechen wir zwei Analogien zu einem statistischen Test. Analogie 1: Indirekter Beweis Bei einem indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung an und versucht durch logische Folgerungen eine Aussage herzuleiten, die einen logischen Widerspruch darstellt (siehe Abb. 6.6). Gelingt dies, darf das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung verworfen werden und somit die zu beweisende Behauptung akzeptiert werden. Gelingt dies nicht, kann man über die Gültigkeit der zu beweisenden Behauptung (bzw. ihr Gegenteil) nichts aussagen. Der Beweisversuch war umsonst. Abb. 6.6 Ein statistischer Test ist ein stochastisches Analogon zu einem indirekten Beweis (siehe Abb. 6.7). Die Behauptung, deren Richtigkeit man eigentlich zeigen will, ist die Alternativhypothese H 1 . Man nimmt das Gegenteil von H 1 , also die Nullhypothese H 0  , an und versucht durch eine Stich- probe zu zeigen, dass ein „stochastischer Widerspruch“ entsteht, dh. ein sehr unwahrscheinliches Stichprobenergebnis eintritt. Gelingt dies, darf H 0 verworfen werden und somit H 1 akzeptiert werden. Im Gegensatz zu einem indirekten Beweis liefert diese Vorgangsweise nicht mit hundertprozentiger Sicherheit die richtige Entscheidung. Die Wahrscheinlichkeit eines Irrtums ist aber sehr klein. Gelingt es nicht, H 0 zu verwerfen, kann man über die Gültigkeit von H 0 (bzw. H 1 ) nichts aussagen. Der Test war umsonst. Abb. 6.7 Stichprobe von Umgang n Stichprobenergebnis H = k P(H º k) ª α P(H º k) > α ? H 0 H 0 Logische Folgerungen kein Widerspruch Gegenteil der Behauptung Gegenteil der Behauptung wird verworfen Aussage Widerspruch ? Stichprobe Nullhypothese H 0 Stichproben- ergebnis ? nicht sehr unwahrscheinlich H 0 wird verworfen sehr unwahrscheinlich Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv