Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

118 6 Schätzen und Testen von Anteilen 6.46 Eine Kaffeeabfüllmaschine füllt erfahrungsgemäß 4% aller Packungen schlecht ab. Durch eine Stichprobe vom Umfang 600 soll überprüft werden, ob sich dies geändert hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann die Nullhypothese, dass sich nichts geändert hat, mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verworfen werden? Lösung: „� „� Wenn die Nullhypothese gilt, ist die Häufigkeit H der schlecht abgefüllten Packungen in Stichproben vom Umfang 600 annähernd binomialverteilt mit n = 600 und p = 0,04. Wegen n · p · (1 – p) = 600 · 0,04 · 0,96 = 23,04 > 9 können wir H als annähernd normalverteilt mit μ = n · p = 24 und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= 4,8 ansehen. „� Wir bestimmen nun zwei symmetrisch zu μ liegende Werte k 1 und k 2 so, dass gilt: P(H ª k 1 ) = 0,025 und P(H º k 2 ) = 0,025 Φ (– z) = Φ ​ 2  – ​  ​k​ 2 ​– μ  _σ  ​  3 ​ = 0,025 z = ​  ​k​ 2 ​– μ  _σ  ​ ≈ 1,96 (Tabelle auf Seite 269) k 1 = μ – z · σ ≈ 24 – 1,96 · 4,8 = 14,592 k 2 = μ + z · σ ≈ 24 + 1,96 · 4,8 = 33,408 Die Nullhypothese kann also mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verworfen werden, wenn man in der Stichprobe höchstens 14 oder mindestens 34 schlecht abgefüllte Packungen vorfindet. Aufgaben Vertiefung 6.47 Bei einer Serienproduktion von Leuchtdioden wird erfahrungsgemäß 5% Ausschuss produziert. Durch eine Stichprobe vom Umfang 450 soll überprüft werden, ob sich dieser Anteil geändert hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann die Annahme, dass sich der Ausschussanteil nicht geändert hat, mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verworfen werden? 6.48 Das Schmerzmittel DolorEx wirkt bei ca. 90% aller Anwendungen. Anhand einer Stichprobe vom Umfang 500 soll überprüft werden, ob das Generikum SimDolorEx (Nachbildung mit gleichen Wirkstoffen) eine andere Wirkung wie DolorEx hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann man mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 die Annahme verwerfen, dass das Generikum die gleiche Wirkung wie das Original hat? 6.49 CityTram ist bisher von der Annahme ausgegangen, dass ca. 10% der Passagiere ohne Fahrschein unterwegs sind. Bei einer Kontrolle soll durch zufällige Auswahl von 500 Fahrgästen überprüft werden, ob sich der Prozentsatz der „Schwarzfahrer“ geändert hat. Bei welchen Stichprobenergebnissen kann die Annahme, dass sich nichts geändert hat, mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verworfen werden? H 0 : p = 0,04 H 1 : p ≠ 0,04 (Maschine hat sich nicht verändert) (Maschine hat sich verändert) μ 0 z –z H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann ver- worfen werden H 0 kann ver- worfen werden k 2 k 1 0,025 0,025 Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv