Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

116 μ 0 z –z k 2 k 1 0,025 0,025 6.4 Kritische Werte Kritische Werte bei einem einseitigen Anteilstest Definition Der zur Signifikanzzahl α gehörige kritische Wert ist „� bei einem rechtsseitigen Anteilstest die Zahl ​ k​ 0 ​ mit P(H º ​k​ 0 ​) = α (Abb. 6.1), „� bei einem linksseitigen Anteilstest die Zahl ​ k​ 0 ​ mit P(H ª ​k​ 0 ​) = α  (Abb. 6.2).    Abb. 6.1     Abb. 6.2 6.39 Durch einen Chemieunfall ist Gift in einen Teich gelangt. Ein Vertreter der chemischen Industrie behauptet, dass durch den Unfall nur 20% der Fische in diesem Teich vergiftet wurden. Ein Umweltschützer vermutet, dass dieser Anteil höher ist. Wie viele vergiftete Fische muss der Umweltschützer in einer Stichprobe vom Umfang 100 mindestens vorfinden, um die Behauptung des Industrievertreters mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen zu können? Lösung: „� „� Wenn die Nullhypothese gilt, ist die Häufigkeit H der vergifteten Fischen in Stichproben vom Umfang 100 annähernd binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,2. Wegen n · p · (1 – p) = 100 · 0,2 · 0,8 = 16 > 9 können wir H als annähernd normalverteilt mit μ = n · p = 20 und  σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= 4 ansehen. „� Wir bestimmen nun k 0 so, dass gilt: P(H º k 0 ) = 0,05 Φ (– z) = Φ ​ 2  –  ​  ​k​ 0 ​– μ  _σ  ​  3 ​ = 0,05 z = ​  ​k​ 0 ​– μ  _σ  ​ ≈ 1,645 (Tabelle auf Seite 269) k 0 = μ + z · σ ≈ 20 + 1,645 · 4 = 26,58 Der Umweltschützer muss also mindestens 27 vergiftete Fische vorfinden, um die Behauptung des Industrievertreters mit der maximalen Irrtumswahr- scheinlichkeit 0,05 verwerfen zu können. Aufgaben Vertiefung 6.40 Ein Produzent behauptet, dass nur 2% seiner Ware Ausschussstücke sind. Ein kritischer Abnehmer glaubt, dass dieser Anteil höher ist. Wie viele Ausschussstücke muss er in einer Stichprobe vom Umfang 500 mindestens vorfinden, um die Behauptung des Produzenten mit der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,05 verwerfen zu können? kk 0 α H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann verworfen werden P(H º k) k k 0 α H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann verworfen werden P(H ª k) H 0 : p = 0,2 H 1 : p > 0,2 (Behauptung des Industrieverterters) (Vermutung des Umweltschützers) μ 0 z k 0 H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann ver- worfen werden 0,05 Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv