Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

114 6 Schätzen und Testen von Anteilen Ein Vorgehen wie in der letzten Aufgabe bezeichnet man als zweiseitigen Anteilstest mit der Signifikanz α . Das Wort „zweiseitig“ rührt daher, dass die Alternativhypothese H 1 weder in der Form p > ​p​ 0 ​noch in der Form p < ​p​ 0 ​formuliert wird, sondern in der Form p ≠ p 0  . Es werden also Abweichungen des relativen Anteils p von ​p​ 0 ​nach oben und nach unten betrachtet. Vorgehen bei einem zweiseitigen Anteilstest 1. Schreibe eine Nullhypothese ​H​ 0 ​und eine Alternativhypothese H 1 in folgender Form an: ​ H​ 0 ​: p = ​p​ 0 ​ ​H​ 1 ​: p ≠ ​p​ 0 ​ 2. Lege eine Signifikanzzahl α fest! 3. Bestimme den Wert k der untersuchten Häufigkeit H in einer Stichprobe vom Umfang n! 4. Nimm an, dass die Nullhypothese H 0 gilt und berechne unter dieser Annahme die Irrtums- wahrscheinlichkeiten P(H ª k) und P(H º k)! 5. Ist eine dieser beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten kleiner oder gleich ​  α  _ 2 ​ , kann die Nullhypothese verworfen werden. Untenstehend ist ein zweiseitiger Anteilstest für eine große Stichprobe veranschaulicht. Die Normalverteilung von H ist durch eine Glockenkurve dargestellt. Die grün unterlegten Flächen entsprechen jeweils der Wahrscheinlichkeit ​  α  _ 2 ​ , die schraffierten Flächen den Wahrscheinlichkeiten P(H ª k) und P(H º k). Wenn der Wert k der untersuchten Häufigkeit H in einem der rot markierten Intervalle liegt, dann ist P(H ª k) höchstens gleich ​  α  _ 2 ​oder P(H º k) höchstens gleich ​  α  _ 2 ​und die Nullhypothese H 0 kann verworfen werden. „� Wenn k jedoch im blau markierten Intervall liegt, dann ist sowohl P(H ª k) als auch P(H º k) größer als ​  α  _ 2 ​und H 0 kann nicht verworfen werden. Aufgaben Vertiefung 6.30 Eine Lokalzeitung meldete im Vorjahr, dass in einem Waldgebiet ca. 30% der Zecken mit FSME-Viren oder Borreliose-Bakterien infiziert sind. Durch einen zweiseitigen Test mit α = 0,05 soll geprüft werden, ob sich dies in der Zwischenzeit geändert hat. In einer Stichprobe von 20 Zecken findet man 11 infizierte Tiere. Führe den Test durch! 6.31 In einer vor einiger Zeit durchgeführten Erhebung hat sich gezeigt, dass 25% der Angestellten eines Betriebes während der Arbeit rauchen. Durch einen zweiseitigen Test mit α = 0,05 soll geprüft werden, ob sich dies in der Zwischenzeit geändert hat. In einer Stichprobe von 20 Angestellten stellt man fest, dass 3 von diesen Personen während der Arbeit rauchen. Führe den Test durch! k H 0 kann verworfen werden H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann verworfen werden P(H º k) P(H ª k) α –2 α –2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv