Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

113 μ 0 z –z k 2 k 1 0,025 0,025 6.3 Zweiseitige Anteilstests 6.29 Aus Studien ist bekannt, dass der Cholesterin-Senker SimulStatin bei etwa 40% der Patienten wirkt. Nach einem geringfügigen chemischen Umbau des Wirkstoffs soll getestet werden, ob sich die Wirksamkeit des Medikaments verändert hat. Es liegt allerdings keine Vermutung vor, ob die Wirksamkeit zu- oder abgenommen hat. Teste mit der Signifikanz 0,05, ob sich die Wirksamkeit von SimulStatin verändert hat, wenn folgendes Ergebnis vorliegt: 1) In einer Stichprobe von 20 Patienten hat das Medikament bei 12 Patienten gewirkt, 2) In einer Stichprobe von 780 Patienten hat das Medikament bei 345 Patienten gewirkt. Lösung: Es sei p der unbekannte relative Anteil aller Patienten, bei denen SimulStatin wirkt. Wir schreiben eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese an: H 0 : p = 0,4 H 1 : p ≠ 0,4 (Wirkung von SimulStatin ist gleich geblieben) (Wirkung von SimulStatin hat sich verändert) 1) Es sei H die Anzahl der Patienten in Stichproben vom Umfang 20, bei denen SimulStatin wirkt. Wir setzen voraus, dass die Nullhypothese H 0 gilt. Dann ist H annähernd binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,4. Wir werden die Nullhypothese H 0 verwerfen, wenn entweder das Stichprobenergebnis H º 12 oder das Stichprobenergebnis H ª 12 ein „sehr seltenes“ Ereignis ist (denn in diesen Fällen könnte man H 0 nur schwer aufrecht erhalten). Es liegt nahe, die maximal zugelassene Irrtumswahrschein­ lichkeit 0,05 je zur Hälfte auf die beiden Enden der Wahrscheinlichkeitsverteilung von H aufzuteilen und die Nullhypothese zu verwerfen, wenn entweder P(H º 12) oder P(H ª 12) höchstens gleich 0,025 ist. Der entsprechenden Tabelle auf Seite 268 entnehmen wir die Irrtumswahrscheinlichkeiten: P(H ª 12) ≈ 0,979 > 0,025 und P(H º 12) ≈ 0,057 > 0,025 Wir können also die Nullhypothese nicht verwerfen. Man kann nicht behaupten, dass sich die Wirkung von SimulStatin verändert hat. 2) Es sei H die Anzahl der Patienten in Stichproben vom Umfang 780, bei denen SimulStatin wirkt. Wenn H 0 gilt, dann ist die Zufallsvariable H annähernd binomialverteilt mit n = 780 und p = 0,4. Wegen n · p · (1 – p) = 780 · 0,4 · 0,6 = 187,2 > 9 kann diese Binomialverteilung näherungsweise durch eine Normalverteilung mit folgenden Parametern ersetzt werden: μ = n · p = 780 · 0,4 = 312 und  σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= ​ 9 _______ 780 · 0,4 · 0,6​≈ 13,68 [Abspeichern!] Der Tabelle auf Seite 269 entnehmen wir die Irrtumswahrscheinlichkeiten: P(H ª 345) ≈ Φ ​ 2  ​  345 – 312 __σ  ​  3 ​ ≈ Φ (2,41) ≈ 0,9920 und P(H º 345) ≈ Φ ​ 2 – ​  345 – 312 __σ  ​  3 ​ ≈ Φ (– 2,41) ≈ 0,0080 Die zweite Irrtumswahrscheinlichkeit ist kleiner als 0,025. Wir können also die Nullhypothese mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen. Man kann behaupten, dass sich die Wirkung von SimulStatin verändert hat. Ó 0,1 0,2 ca. 0,025 0 P(H = k) P(H ª 12) P(H º 12) k ca. 0,025 20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 P(H º 345) 312 0,025 0,025 345 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv