Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

109 μ 0 z –z H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann ver- worfen werden H 0 kann ver- worfen werden k 2 k 1 0,025 0,025 6.2 Einseitige Anteilstests In der letzten Aufgabe haben wir die Wahrscheinlichkeit für einen Irrtum des Abnehmers berechnet, den dieser begeht, wenn er die Behauptung der Herstellerfirma verwirft, obwohl diese Recht hat. Wenn der Abnehmer diese Irrtumswahrscheinlichkeit, also das Risiko einer Fehlentscheidung, für „genügend klein“ ansieht, wird er die Behauptung der Herstellerfirma mit einem gewissen Recht verwerfen können. Aber wann ist die errechnete Irrtumswahrschein­ lichkeit wirklich „genügend klein“? Diese Frage kann nicht eindeutig beantwortet werden. Ob eine Irrtumswahrscheinlichkeit als „genügend klein“ bewertet wird, ist subjektiv. In der statistischen Praxis hat sich aber durch­ gesetzt, eine Irrtumswahrscheinlichkeit als „genügend klein“ zu bewerten, wenn sie höchstens 0,05 (bzw. manchmal 0,01) beträgt. Man bezeichnet die Zahl 0,05 (bzw. 0,01) als maximal zugelassene Irrtumswahrscheinlichkeit . Legt man die maximal zugelassene Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 zugrunde, dann gilt „� in Aufgabe 6.20 1): P(H º 2) ≈ 0,060 > 0,05. Der Abnehmer kann also die Behauptung der Herstellerfirma nicht mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen. „� in Aufgabe 6.20 2): P(H º 30) ≈ 0,0119 ª 0,05. Der Abnehmer kann also die Behauptung der Herstellerfirma mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen. Die letzte Aussage kann man so interpretieren: Würde der Abnehmer sehr oft Stichproben vom Umfang 1 000 erheben und dabei die Behaup- tung der Herstellerfirma immer dann verwerfen, wenn ein Stichprobenergebnis H º 30 eintritt, so würde er in höchstens 5% aller Stichproben irren, falls die Herstellerfirma doch Recht hat. Einseitige Anteilstests Wir beschreiben die Schritte in der letzten Aufgabe allgemein: „� Mittels einer Stichprobe vom Umfang n soll geprüft werden, ob der relative Anteil p eines Merkmals (zB der unbrauchbaren Minen) einen bestimmten Wert p 0 hat oder ob dieser Wert größer als p 0 ist. Dabei werden zwei Hypothesen einander gegenübergestellt: Nullhypothese ​H​ 0 ​: p = p 0 Alternativhypothese ​ H​ 1 ​: p > p 0 (Behauptung der Herstellerfirma) (Vermutung des Abnehmers) „� Vor der Erhebung der Stichprobe legt man eine maximal zugelassene Irrtumswahrscheinlichkeit α fest. Diese gibt an, wie hoch das Risiko einer Fehlentscheidung höchstens sein darf. Man bezeichnet α als Signifikanzzahl oder Signifikanzniveau . (Meist wählt man α = 0,05 oder α = 0,01, wenn Fehlentscheidungen besonders gravierend sind.) „� Dann wird die Stichprobe erhoben und der sich ergebende Wert H = k für die Häufigkeit des Merkmals in dieser Stichprobe festgehalten (0 ª k ª n). Man fragt dann: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Stichprobenergebnis H º k, falls die Nullhypothese H 0 wider Erwarten doch gilt? Verwirft man H 0 bei jedem Stichprobenergebnis H º k, obwohl H 0 gilt, begeht man mit der Wahrscheinlichkeit P(H º k) einen Irrtum. Diese Irrtumswahrscheinlichkeit P(H º k) kann unter der Annahme der Gültigkeit von H 0 mittels der Binomial- oder Normalverteilung berechnet werden. „� Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens gleich α  , geht man das vorher festgelegte Risiko ein und darf die Nullhypothese verwerfen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv