Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

108 μ 0 z –z k 2 k 1 0,025 0,025 6.2 Einseitige Anteilstests Irrtumswahrscheinlichkeit 6.19 Bei der Produktion von Massenwaren kommt es immer auch zu einem bestimmten Prozentsatz an Ausschuss. Eine Herstellerfirma produziert eine sehr große Anzahl von Minen für Druck­ bleistifte und behauptet, dass nur 2% der Minen unbrauchbar sind. Ein kritischer Abnehmer vermutet, dass dieser Anteil höher ist. Er untersucht einige zufällig ausgewählte Minen (erhebt also eine Stichprobe) und stellt fest, dass 4% davon unbrauchbar sind. Kann aufgrund dieses Ergebnisses die Behauptung der Herstellerfirma mit Sicherheit verworfen werden? Lösung: Der Abnehmer kann die Behauptung der Herstellerfirma nicht mit Sicherheit verwerfen, selbst wenn er in der Stichprobe mehr als 4% unbrauchbare Minen vorfinden würde. Er könnte es nicht einmal dann, würde er in der Stichprobe lauter unbrauchbare Minen vorfinden. Denn die Anzahl der unbrauchbaren Minen ist von Stichprobe zu Stichprobe zufälligen Schwankungen unterworfen und kann in der vorliegenden Stichprobe zufällig 4% oder mehr ausmachen. 6.20 (Fortsetzung von 6.19) Der Abnehmer verwirft die Behauptung des Herstellers, weil er 1) in einer Stichprobe vom Umfang 20 zwei unbrauchbare Minen (das sind 10% aller Minen der Stichprobe) erhalten hat, 2) in einer Stichprobe vom Umfang 1 000 genau 30 unbrauchbare Minen (das sind 3% aller Minen der Stichprobe) enthalten hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit begeht der Abnehmer den Irrtum, die Behauptung der Herstellerfirma zu verwerfen, falls diese doch Recht hat? Lösung: 1) Es sei H die Häufigkeit der unbrauchbaren Minen in Stichproben vom Umfang 20. Wir setzen voraus, dass die Herstellerfirma Recht hat. Dann ist die Zufallsvariable H annähernd binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 0,02 und der Abnehmer begeht bei jedem Stichprobenergebnis H º 2 einen Irrtum, weil er dann ja die Behauptung der Herstellerfirma zu Unrecht verwirft. (Beachte: Er verwirft die Behauptung der Herstellerfirma ja nicht nur bei H = 2, sondern erst recht bei H > 2.) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignises H º 2 entnehmen wir der Tabelle auf Seite 268: P(H º 2) ≈ 0,060 Der Abnehmer begeht also bei dieser Vorgangsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,060 den Irrtum, die Behauptung der Herstellerfirma zu verwerfen, falls diese Recht hat. 2) In diesem Fall ist H annähernd binomialverteilt mit den Parametern n = 1 000 und p = 0,02. Wegen n · p · (1 – p) = 1 000 · 0,02 · 0,98 = 19,6 > 9 kann diese Binomialverteilung näherungs- weise durch eine Normalverteilung mit folgenden Parametern ersetzt werden: μ = n · p = 1 000 · 0,02 = 20 und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= = ​ 9 _________ 1 000 · 0,02 · 0,98​≈ 4,43 [Abspeichern!] Damit erhalten wir: P(H º 30) ≈ Φ ​ 2 – ​  30 – 20 _σ  ​  3 ​ ≈ Φ (– 2,26) ≈ 0,0119 Der Abnehmer verwirft bei dieser Vorgangsweise also ungefähr mit der Wahrscheinlichkeit 0,0119 die Behauptung der Herstellerfirma irrtümlich, falls diese Recht hat. Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv