Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

107 6.1 Schätzbereiche und Konfidenzintervalle 6.14 Bei der letzten Gemeinderatswahl haben 38% die Liste „ Wir “ gewählt. Für die nächste Wahl soll dieser Prozentsatz durch eine Stichprobe neu geschätzt werden. Wie viele wahlberechtigte Personen müssen zufällig ausgewählt und befragt werden, damit man für den Prozentsatz der „Wir“-Wähler ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,04 angeben kann, wenn man von der Annahme ausgeht, dass das neue Wahlergebnis a) sich vom alten Wahlergebnis nicht sehr unterscheiden wird, b) völlig offen ist? Lösung: Für γ = 0,95 ist z ≈ 1,96. a) n ≈   4 · z 2 · h · (1 – h) ___ d 2 ≈   4 · 1,96 2 · 0,38 · (1 – 0,38) ____ 0,04 2 ≈ 2262,7 Es müssen also mindestens 2263 Personen zufällig ausgewählt und befragt werden. b) n ≈ 2    z _ d   3 2 ≈ 2    1,96 _ 0,04   3 2 = 2401 Es müssen also mindestens 2401 Personen zufällig ausgewählt und befragt werden. Aufgaben Grundkompetenzen 6.15 Durch eine Erhebung soll für die Region Donau - AlpeAdria der Prozentsatz der Haushalte geschätzt werden, die einen Internetanschluss besitzen. Wie viele Haushalte müssen zufällig ausgewählt und befragt werden, damit man für diesen Prozentsatz ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,04 angeben kann, wenn a) eine frühere Erhebung ergeben hat, dass 64% einen Internetanschluss besitzen, b) keine früheren Erhebungen vorliegen? 6.16 Aufgrund früherer Erhebungen ist ungefähr bekannt, wie viel Prozent der Haushalte eines Bezirks ein Radio, ein Fernsehgerät, einen DVD-Player bzw. einen Camcorder besitzen: Radio Fernsehgerät DVD-Player Camcorder 96% 91% 24% 8% Durch eine aktuelle Erhebung sollen diese Prozentsätze neu geschätzt werden, wobei für jeden Prozentsatz a) ein 95%-Konfidenzintervall, b) ein 99%-Konfidenzintervall der Länge 0,04 angegeben werden soll. Wie viele Haushalte müssen dazu mindestens zufällig ausgewählt und befragt werden? 6.17 Im Rahmen einer Erhebung des Schulpsychologischen Dienstes wurden vor einiger Zeit folgende Prozentzahlen über die Art des Kontaktes zwischen Schule und Eltern ermittelt: keine Kontakte häufiger der Vater Vater und Mutter gleich oft häufiger die Mutter 8% 11% 16% 65% Wie viele Eltern müssen bei einer neuen Erhebung mindestens befragt werden, wenn für die einzelnen Kontaktarten jeweils ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,04 angestrebt wird? 6.18 Für den relativen Anteil der Befürworter von längeren Geschäftsöffnungszeiten in der Bevölkerung soll ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,02 angegeben werden. 1) Wie viele Personen müssen mindestens befragt werden, wenn kein Schätzwert für den untersuchten Anteil bekannt ist? 2) Nach einer Telefonumfrage mit 250 Personen ist bekannt, dass h ≈ 0,4 ist. Wie viele Personen müssen aufgrund dieses Ergebnisses befragt werden? Wie groß ist die relative Ersparnis an notwendigen Befragungen im Vergleich zu 1)? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv