Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

106 6 Schätzen und Testen von Anteilen Aufgaben Grundkompetenzen 6.10 Bei einer Befragung von 1 000 zufällig ausgewählten Männern ergab sich, dass sich 30% elektrisch rasieren. Aufgrund dieses Ergebnisses gibt die Marktforscherin A das Konfidenz intervall [0,28; 0,32], die Marktforscherin B das Konfidenzintervall [0,29; 0,31] für den unbekann- ten relativen Anteil der sich elektrisch rasierenden Männer in der männlichen Bevölkerung an. Mit welcher Sicherheit kann jede der beiden Marktforscherinnen ihre Behauptung aufstellen? Kann man eine der beiden Prognosen als „leichtsinnig“ bezeichnen? 6.11 In einer psychiatrischen Studie wird festgestellt, dass von 1 000 zufällig ausgewählten Personen 25 an einer neuentdeckten Krankheit leiden. Es wird das Konfidenzintervall [0,02; 0,03] für den unbekannten relativen Anteil p der von dieser Krankheit Betroffenen in der Gesamtbevölkerung angegeben. Wie hoch ist die Sicherheit dieser Angabe? 6.12 Ein Pharmakonzern wirbt mit dem Slogan: „20% aller Senioren haben Venenprobleme.“ Er stützt sich dabei auf eine Befragung von 500 zufällig ausgewählten Senioren. Mit welcher Sicherheit kann man für den unbekannten relativen Anteil der Senioren mit Venenproblemen unter allen Senioren das Konfidenzintervall a) [0,18; 0,22], b) [0,15; 0,25] angegeben? Wie groß muss der Stichprobenumfang sein? 6.13 Für einen unbekannten relativen Anteil p in einer Grundgesamtheit soll ein γ -Konfidenzintervall der vorgegebenen Länge d mittels einer Stichprobe vom Umfang n ermittelt werden. Wie groß muss dazu der Stichprobenumfang n mindestens sein? Lösung: Es sei h die (noch unbekannte) relative Häufigkeit in der Stichprobe. Für die halbe Länge des Konfidenzintervalls soll gelten: z · 9 _____   h · (1 – h) _ n   =   d _ 2 , wobei z so zu bestimmen ist, dass Φ (z) =   1 + γ  _ 2  ist. Daraus ergibt sich: n ≈   4 · z 2 · h · (1 – h) ___ d 2 Wenn h aufgrund einer Vorerhebung geschätzt werden kann, dann setzt man diesen Schätzwert für h ein. Andernfalls wählt man für h sicherheitshalber jenen Wert, für den das Produkt h · (1 – h) am größten ist. Überlege selbst, dass die Funktion f mit f(h) = h · (1 – h) im Intervall [0; 1] an der Stelle h = 0,5 den größten Wert annimmt. Damit erhalten wir: n ≈   4 · z 2 · 0,5 · (1 – 0,5) ___  d 2 = 2    z _ d   3 2 Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: Satz Soll für einen unbekannten relativen Anteil p in einer Grundgesamtheit ein γ -Konfidenzintervall der Länge d mittels einer Stichprobe vom Umfang n ermittelt werden, so gilt: � n ≈   4 · z 2 · h · (1 – h) ___ d 2 , wenn die relative Häufigkeit h in der Stichprobe durch einen Wert aus einer Vorerhebung geschätzt werden kann, � n ≈ 2    z _ d   3 2 , wenn dies nicht der Fall ist. Dabei ist z so zu bestimmen, dass Φ (z) =   1 + γ _ 2  ist. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv