Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

105 6.1 Schätzbereiche und Konfidenzintervalle Aufgaben Grundkompetenzen 6.05 Bei einer Umfrage fanden sich unter 320 Jugendlichen eines Schulsprengels 38 Linkshänder. Gib ein Konfidenzintervall mit der Sicherheit  a) γ = 0,95,  b) γ = 0,99 für den unbekannten relativen Anteil der Linkshänder in diesem Schulsprengel an! Interpretiere das Ergebnis! 6.06 Die Gesundheitsbehörde einer Stadt interessiert sich für die Verteilung der Blutgruppen in der Wohnbevölkerung. In einer Stichprobe bestehend aus 1 000 Einwohnern wiesen 38% die Blut- gruppe 0 auf. Gib ein Konfidenzintervall mit der Sicherheit  a) γ = 0,95,  b) γ = 0,99 für den unbekannten relativen Anteil der Einwohner mit Blutgruppe 0 in der Wohnbevölkerung an! 6.07 Bei einer Befragung unter 100 Passagieren von EasyRail gaben 72 Personen an, mit den bestehenden Fahrplänen zufrieden zu sein. Bestimme ein 95%-Konfidenzintervall für den unbekannten relativen Anteil der zufriedenen Fahrgäste unter allen Passagieren von EasyRail ! 6.08 Das neu entwickelte Rheuma-Medikament FlamEx wurde bei 850 Probanden getestet und ver­ ursachte bei 17% der Probanden spürbare Nebenwirkungen. Gib ein  a) 95%-Konfidenzintervall, b) 99%-Konfidenzintervall für den unbekannten relativen Anteil der Patienten an, bei denen FlamEx spürbare Nebenwirkungen hervorruft! Wie groß ist die Sicherheit eines Konfidenzintervalls? 6.09 Vor einer Wahl wird der relative Anteil p der Wählerinnen und Wähler der Zukunftspartei ZP an der Gesamtheit aller Wählerinnen und Wähler geschätzt. In einer Stichprobe von 2000 Wählern ergibt sich, dass 34% der Befragten die ZP wählen wollen. Daraufhin gibt die Morgenzeitung das Konfidenzintervall [0,32; 0,36] und die konkurrierende Abendzeitung das Konfidenzintervall [0,33; 0,35] für p an. Mit welcher Sicherheit kann jede der beiden Zeitungen ihre Behauptung aufstellen? Lösung: Gegeben sind die Konfidenzintervalle: [0,32; 0,36] bzw. [0,33; 0,35]. Für die halbe Länge des Konfidenzintervalls gilt: z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) _ n  ​​≈ 0,02 bzw. z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) _ n  ​​≈ 0,01, wobei h = 0,34 und n = 2000. Setze diese Werte selbst ein und berechne z! Es ergibt sich: z ≈ 1,89 bzw. z ≈ 0,94 Anhand der Tabelle auf Seite 269 erhalten wir: Φ (z) ≈ 0,9706 bzw.  Φ (z) ≈ 0,8264 Damit ergeben sich die Sicherheiten: γ = 2 · Φ (z) – 1 ≈ 2 · 0,9706 – 1 ≈ 0,94 bzw.  γ = 2 · Φ (z) – 1 ≈ 2 · 0,8264 – 1 ≈ 0,65 Die Morgenzeitung kann ihre Behauptung ungefähr mit der Sicherheit 94%, die Abendzeitung aber nur mit einer Sicherheit von ca. 65% aufstellen. Die Abendzeitung ist bei ihrer Prognose sehr „leichtsinnig“, weil das Risiko einer Fehlprognose mit ca. 35% sehr hoch ist. Merke Je kleiner ein Konfidenzintervall, desto geringer seine Sicherheit. Hohe Genauigkeit und hohe Sicherheit einer Schätzung sind nicht gleichzeitig erreichbar. Ó Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv