Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

103 6.1 Schätzbereiche und Konfidenzintervalle Berechnung eines Konfidenzintervalls p * γ -Konfidenzintervall É  zugehöriger γ -Schätzbereich überdeckt den in der Stichprobe beobachteten Wert h  É É  p – z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) _ n  ​​ª h ª p + z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) __ n  ​​ ​ 2 wobei Φ (z) = ​  1 + γ  _ 2  ​  3 ​ Um Schranken für p zu erhalten, müsste man die beiden Ungleichungen nach p auflösen, was auf das aufwändige Lösen zweier quadratischer Ungleichungen führt. Begnügt man sich mit einer Näherung für das Konfidenzintervall, kann man den Rechenaufwand so vereinfachen: Der Wurzelausdruck ist klein, wenn man n groß voraussetzt. Er ändert sich also nicht sehr, wenn man in ihm den relativen Anteil p in der Grundgesamtheit durch die relative Häufigkeit h in der Stichprobe ersetzt. Dadurch erhält man näherungsweise: p * γ -Konfidenzintervall  É  p – z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ n  ​​ª h ª p + z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​ Durch algebraische Umformung der beiden Ungleichungen ergibt sich näherungsweise: p * γ -Konfidenzintervall  É  h – z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ n  ​​ª p ª h + z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ n  ​​ (Rechne nach!) Somit ist das Intervall ​ 4 h – z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ n  ​​ ; h + z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ n  ​​  5 ​(zumindest näherungsweise) das gesuchte γ -Konfidenzintervall. Satz Zur Schätzung des unbekannten relativen Anteils p eines Merkmals in einer Grundgesamtheit wird eine Stichprobe von großem Umfang n erhoben. In dieser ergibt sich der Wert h für die relative Häufigkeit des untersuchten Merkmals. Dann gilt: γ -Konfidenzintervall für p ≈ ​ 4  h – z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) _ n  ​​ ; h + z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) _ n  ​​  5 ​  , wobei z so zu bestimmen ist, dass Φ (z) = ​  1 + γ _ 2  ​ ist. 6.04 Vor einer Parlamentswahl beauftragt das Politmagazin Polis das Meinungsforschungsinstitut Demos mit einer Prognose für den relativen Anteil p der Wählerinnen und Wähler der Fortschrittspartei an der Gesamtheit aller Wählerinnen und Wähler. In einer Telefonumfrage vom Umfang 650 geben 201 Personen an, die Fortschrittspartei wählen zu wollen. Gib ein a) 95%-Konfidenzintervall,  b) 99%-Konfidenzintervall für den unbekannten relativen Anteil p an! Lösung: a) Es ist γ = 0,95. Wir bestimmen z so, dass Φ (z) = ​  1 + γ  _ 2  ​= ​  1 + 0,95 __ 2  ​= 0,975. Aus der Tabelle auf Seite 269 lesen wir ab: z ≈ 1,96. In der Stichprobe ist h = ​  201 _ 650 ​≈ 0,31 [Abspeichern!]. 95%-Konfidenzintervall für p ≈ ​ 4  h – 1,96 · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ 650  ​​ ; h + 1,96 · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) __ 650  ​​  5 ​≈ ≈ [0,27; 0,35] = [27%; 35%] b) Rechne selbst! Es ergibt sich: 99%-Konfidenzintervall für p ≈ [26% ; 36%] Merke Je größer die gewünschte Sicherheit γ , desto größer das γ -Konfidenzintervall für p (desto ungenauer die Schätzung). Für die Berechnung von 0,95- bzw. 0,99-Konfidenzintervallen kann man sich merken: Merke „� Zu γ = 0,95 gehört z ≈ 1,96 . „� Zu γ = 0,99 gehört z ≈ 2,575 . Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv