Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

102 6 Schätzen und Testen von Anteilen Dividieren wir die Ungleichungskette in der Klammer durch n, erhalten wir: P​ 2 p – z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) __ n  ​​ª h ª p + z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) __ n  ​​  3 ​≈ γ Das Intervall ​ 4 p – z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) __ n  ​​ ; p + z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) __ n  ​​  5 ​überdeckt (enthält) also h mit der Wahrschein- lichkeit γ und ist somit der gesuchte γ -Schätzbereich für h. Satz Es sei p der relative Anteil eines Merkmals in einer Grundgesamtheit. Für die entsprechende relative Häufigkeit h in einer Stichprobe von großem Umfang n gilt: γ -Schätzbereich für h ≈ ​ 4 p – z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) __ n  ​​ ; p + z · ​ 9 _____ ​  p · (1 – p) __ n  ​​  5 ​  , wobei z so zu bestimmen ist, dass Φ (z) = ​  1 + γ _  2  ​gilt . Aufgaben Grundkompetenzen 6.02 Erfahrungsgemäß reagieren ca. 60% der Migränepatienten auf Entspannungsübungen positiv. Bei einer Studie erhalten 100 zufällig ausgewählte Migränepatienten diese Therapie. Wie viel Prozent positiv reagierender Patienten sind zu erwarten? Gib einen 95%-Schätzbereich an! 6.03 Der Hersteller eines Massenartikels geht davon aus, dass ca. 5% der Produktion fehlerhaft sind. Zur Qualitätskontrolle wird eine Stichprobe vom Umfang 1 500 erhoben. Wie viel Prozent fehler­ hafte Ware wird die Stichprobe voraussichtlich enthalten? Gib einen 95%-Schätzbereich an! Konfidenzintervalle für den relativen Anteil in einer Grundgesamtheit Vor einer Wahl wird ein Meinungsforschungsinstitut beauftragt, den unbekannten relativen Anteil p der Wähler der Partei A an der Gesamtheit aller Wähler zu schätzen. Dazu wird durch eine Telefonumfrage eine Stichprobe vom Umfang n erhoben. In dieser Stichprobe ergibt sich für die A-Wähler die relative Häufigkeit h. Welche Schätzwerte für p „passen“ zu diesem Stichproben­ ergebnis h, sind also mit dem Stichprobenergebnis h „verträglich“? Die Antwort auf diese Frage ist durchaus subjektiv. In der Statistik ist jedoch folgende Sichtweise üblich: Man gibt zuerst vor, mit welcher Wahrscheinlichkeit γ man p schätzen möchte. Als „gute“ Schätzwerte für p werden dann all jene Werte angesehen, deren zugehörige γ -Schätzbereiche den in der Stichprobe beobachteten Wert h überdecken. In der nebenstehenden Abbildung sind einige Schätzwerte für p sowie die dazugehörigen γ -Schätzbereiche für h eingezeichnet. Jene Schätz- werte für p, deren γ -Schätzbereiche den beobachteten Wert h über­ decken, bilden ein Intervall [p 1  ; p 2  ]. Dieses Intervall erhält einen eigenen Namen: Definition Zur Schätzung des unbekannten relativen Anteils p eines Merkmals in einer Grundgesamtheit wird eine Stichprobe von großem Umfang n erhoben. In dieser ergibt sich der Wert h für die relative Häufigkeit des untersuchten Merkmals. Die Menge aller Schätzwerte für p, deren zugehörige γ -Schätzbereiche den in der Stichprobe beobachteten Wert h überdecken, heißt Konfidenzintervall mit der Sicherheit γ für den unbekannten relativen Anteil p. Ein Konfidenzintervall mit der Sicherheit γ bezeichnet man kurz als γ -Konfidenzintervall . Ist etwa γ = 0,95 , spricht man von einem 0,95-Konfidenzintervall oder 95%-Konfidenzintervall . Ein γ -Konfidenzintervall nennt man auch Vertrauensintervall mit dem Vertrauensniveau γ . 0 p 1 p 2 h 1 Konfidenzintervall Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv