Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

101 6.1 Schätzbereiche und Konfidenzintervalle Schätzbereiche für die relative Häufigkeit in einer Stichprobe 6.01 Am Wahlabend steht fest: Der relative Anteil p der Wählerinnen und Wähler der Partei A in der Grundgesamtheit beträgt 0,32. Am folgenden Tag erhebt man durch eine Straßenbefragung eine Stichprobe vom Umfang 150. Ermittle ein symmetrisches Intervall um p, das die relative Häufig- keit h der A-Wähler in dieser Stichprobe mit der Wahrscheinlichkeit  a) γ = 0,95,  b) γ = 0,99 enthalten wird! Lösung: a) �  Es sei H die absolute Häufigkeit und h die relative Häufigkeit der A-Wähler in Stichproben vom Umfang 150. Die Zufallsvariable H ist binomialverteilt mit n = 150 und p = 0,32. Wegen n · p · (1 – p) = 150 · 0,32 · 0,68 > 9 ist H annähernd normalverteilt mit μ = n · p = 150 · 0,32 = 48 und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= ​ 9 _________ 150 · 0,32 · 0,68​≈ 5,71 [Abspeichern!]. �  Wir betrachten zunächst ein Intervall [ μ – z · σ ; μ + z · σ ] mit der Eigenschaft    P(μ – z · σ ª H ª μ + z · σ ) = 0,95 und ermitteln den dazugehörigen z-Wert: 2 · Φ (z) – 1 = 0,95  w Φ (z) = 0,975  w  z ≈ 1,96 �  Einsetzen der Werte von μ , z und σ ergibt näherungsweise:    P(36,802 ª H ª 59,198) = 0,95 Die Division der Ungleichungskette in der Klammer durch n = 150 liefert näherungsweise:    P(0,245 ª h ª 0,395) = 0,95 Wir runden die untere Schranke für h ab und die obere auf, wodurch wir eine zwar etwas zu grobe, aber jedenfalls gültige Abschätzung erhalten:    P(0,24 ª h ª 0,40) = 0,95 Die relative Häufigkeit der A-Wähler in der Stichprobe wird mit der Wahrscheinlichkeit 0,95 ungefähr im Intervall [0,24; 0,40] = [24%; 40%] liegen. b) Rechne selbst! Es ergibt sich ungefähr: 0,22 ª h ª 0,42 Die relative Häufigkeit der A-Wähler in der Stichprobe wird mit der Wahrscheinlichkeit 0,99 ungefähr im Intervall [0,22; 0,42] = [22%; 42%] liegen. Definition Es sei p der bekannte relative Anteil eines Merkmals in einer Grundgesamtheit und es soll die relative Häufigkeit h dieses Merkmals in einer Stichprobe vom vorgegebenen Umfang n geschätzt werden. Das symmetrisch um p liegende Intervall, welches die unbekannte relative Häufigkeit h mit der Wahrscheinlichkeit γ enthält, heißt γ -Schätzbereich für h . Ist etwa γ = 0,95, so spricht man von einem 0,95-Schätzbereich oder 95%-Schätzbereich für h . Aus Aufgabe 6.01 erkennt man: Merke Je größer die vorgegebene Wahrscheinlichkeit γ , desto größer der γ -Schätzbereich (desto ungenauer die Schätzung). Herleitung einer Formel für einen γ -Schätzbereich für h Es sei H die absolute Häufigkeit und h = ​  H _ n ​die relative Häufigkeit des untersuchten Merkmals (zB A-Wähler) in Stichproben vom Umfang n. Wir setzen n genügend groß voraus, sodass die Zufallsvariable H annähernd normalverteilt mit μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ist. Wir gehen zunächst von einem symmetrischen Intervall um μ aus, das die absolute Häufigkeit H mit der Wahrscheinlichkeit γ enthält: P( μ – z · σ ª H ª μ + z · σ ) = γ ​ 2 Dabei gilt: γ = 2 · Φ (z) – 1, dh. Φ (z) = ​  1 + γ  _  2  ​ 3 ​ P​ 2 n · p – z · ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ª H ª n · p + z · ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​  3 ​≈ γ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv