Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

99 0 g – c 4.6 Berechnung von Änderungsgeschwindigkeiten 4.89 In einen drehkegelförmigen Behälter vom Radius 6dm und der Höhe 12dm fließt Wasser mit der konstanten Zuflussgeschwin- digkeit von 50 ® pro Minute ein. 1) Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt t die Wasser höhe h(t) im Behälter zuordnet! 2) Wie schnell steigt die Wasserhöhe nach 2min? 3) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 8dm hoch ist? 4) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Volumen des Wassers im Behälter gerade 400dm 3 beträgt? 5) Wie schnell wächst der Radius des Wasserspiegels nach 2min? Lösung: 1) Wegen der konstanten Zuflussgeschwindigkeit von 50 ® /min gilt V(t) = 50 · t für jeden Zeit- punkt t. Wir berechnen jetzt die Wasserhöhe h(t) und den Radius r(t) mit Hilfe von ähnlichen Dreiecken: h(t) : r(t) = 12 : 6 = 2 : 1 w h(t) = 2r(t) w r(t) =   1 _ 2 · h(t) V(t) =   r 2 (t) · π · h(t) __  3  =   π  _ 3 ·   1 _ 4 · h 2 (t) · h(t) =   π  _  12 · h 3 (t) Wegen V(t) = 50 · t ergibt sich daraus: 50 · t =   π  _  12 · h 3 (t) w h 3 (t) =   600 _π  · t w h(t) = 3 9 ____   600 _π  · t = 2    600 _π  · t  3   1 _ 3 2) h’(t) =   1 _ 3 · 2    600 _π  · t  3 –  2 _ 3 ·   600 _ π  =   200 _π  ·   1 __  2    600 _π  · t  3   2 _ 3 =   200 _ π  ·   1 __  3 9 _____ 2    600 _π  · t  3 2 w h’(2) =   200 _ π  ·   1 __  3 9 __ __ 2    600 _π  · 2  3 2 ≈ 1,21 Nach 2min steigt die Wasserhöhe ungefähr mit 1,21 dm/min. 3) 8 = 3 9 ____   600 _π  · t w 512 =   600 _π  · t w t =   512 · π  _ 600  h’ 2    512 · π __ 600    3 =   200 _π  ·   1 __  3 9 ___ ___ 2    600 _π  ·   512 · π  _ 600    3 2 =   200 _ π  ·   1 _  3 9 ___ 512 2 =   200 _π  ·   1 _  64 ≈ 0,99 Wenn das Wasser gerade 8dm hoch ist, steigt die Wasserhöhe mit ungefähr 0,99dm/min. 4) 400 = 50 · t w t = 8 h’(8) =   200 _π  ·   1 __  3 9 __ __ 2    600 _π  · 8  3 2 ≈ 0,48 Wenn das Volumen des Wassers im Behälter gerade 400dm 3 beträgt, steigt die Wasserhöhe mit ungefähr 0,48dm/min. 5) r(t) =   1 _ 2 · h(t) r’(t) =   1 _ 2 · h’(t) =   100 _π  ·   1 __  3 9 __ __ 2    600 _π  · t  3 2 r’(2) =   100 _π  ·  1 __  3 9 _____ 2    600 _π  · 2  3 2 ≈ 0,60 Nach 2min wächst der Radius ungefähr mit 0,60dm/min. 12 h(t) 6 r(t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv