Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

98 4 Untersuchen weiterer Funktionen 4.81 Berechne f’(x)! a) f(x) = 2 log x c) f(x) = 2 log(x + 3) e) f(x) = (x + 1) ·  2 log x b) f(x) = 3 log x d) f(x) = 4 log(x 4 ) f) f(x) = x + 2 log x Funktionsuntersuchungen 4.82 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f bezüglich Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! Zeichne den Graphen von f! (Computer!) a) f(x) = ln x b) f(x) = 10 log x 4.83 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f bezüglich Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! a) f(x) = a log x (mit a > 1) b) f(x) = a log x (mit 0 < a < 1) 4.84 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f bezüglich Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! Gib vorhandene Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f an und zeichne diesen! (Computer!) a) f(x) = x · ln x c) f(x) = 1 + ln x b) f(x) = ​  lnx _ x  ​ d) f(x) = 10 log(10x) Potenzregel für reelle Exponenten Mit Hilfe der Ableitungsregel für e x und ln x können wir die Potenzregel verallgemeinern. Auf Seite 30 haben wir diese Regel nur für natürliche Exponenten bewiesen. Sie gilt aber für beliebige reelle Exponenten. Satz Potenzregel für reelle Exponenten: Für alle x * R + und alle r * R gilt: f(x) = ​x​ r ​ w  f’(x) = r · ​x​ r – 1 ​ Beweis: f(x) = x r = (e lnx )  r = e r · lnx Nach der Kettenregel folgt: f’(x) = e r · lnx  · r · ​  1 _  x ​= (e lnx )  r  · r · ​  1 _ x ​= x r  · r · ​  1 _ x ​= r · x r – 1  Aufgaben Vertiefung 4.85 Zeige, dass die Quadratwurzelregel ein Spezialfall der Potenzregel für reelle Exponenten ist! 4.86 Ermittle f’(x)! a) f(x) = ​x​ ​  3 _ 2 ​ ​ b) f(x) = x –2,5 c) f(x) =​x​ ​ 3 9 _ 7​ ​ d) f(x) = π · ​x​ ​ 9 _ 2​ ​ 4.87 Ermittle f’(x)! a) f(x) = ​x​ ​  1 _ 2 ​ ​– ​x​ –​  1 _ 2 ​ ​ b) f(x) = ​x​ –​  3 _ 4 ​ ​– ​x​ ​  4 _ 3 ​ ​ c) f(x) = x 1,5  · (x + x –1 ) d) f(x) = ​ 9 __ 2x​ + ​x​ ​ 9 _ 2​ ​ 4.88 Ermittle f’(x)! a) f(x) = ​ 5 9 _ x​ b) f(x) = – ​ 4 9 _ x​ c) f(x) = ​ 10 9 __ x 9 ​+ ​ 9 _ x​ d) f(x) = ​ 3 9 __ x 2 ​+ ​ 5 9 __ x 3 ​ Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv